Arcotangente arctan(x): gráfica, asíntotas, derivada e integral

La función arcotangente deshace la tangente: \arctan x es el ángulo en \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) cuya tangente es x. A diferencia del arcoseno y el arcocoseno, acepta cualquier número real, porque la tangente toma todos los valores reales. En cálculo es famosa como la antiderivada de \frac{1}{1+x^2}.

Definición de arctan x

Como \tan y es la pendiente de una recta con ángulo y, puedes pensar en \arctan m como el ángulo que forma una recta de pendiente m con el semieje x positivo. Por ejemplo, \arctan 1 = \frac{\pi}{4}: una recta de pendiente 1 forma un ángulo de 45 grados.

Gráfica de y = arctan x

Valores clave de la arcotangente

Propiedades de la arcotangente

• Dominio todos los reales, rango \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Los extremos nunca se alcanzan.
• Creciente e impar. \arctan(-x) = -\arctan x.
• Límites en el infinito. \lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} y \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}. Consulta límites en el infinito.
• Cancelación. \tan(\arctan x) = x para todo x; \arctan(\tan x) = x solo para x en \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
• Identidad del recíproco. Para x > 0, \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}.

Derivada de arctan x

Por qué. Sea y = \arctan x, de modo que \tan y = x. La derivación implícita da \sec^2 y\cdot y' = 1, así que y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.

La derivada siempre es positiva y alcanza su máximo en x = 0, donde vale 1. Se acerca a 0 a medida que |x| crece, lo que coincide con cómo se aplana la gráfica.

Integrales con arcotangente

Aparecen siempre que hay un polinomio cuadrático irreducible en un denominador, algo habitual en las fracciones parciales.

La integral de la propia arcotangente usa integración por partes con u = \arctan x, dv = dx:

No hace falta valor absoluto porque 1 + x^2 > 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. Deriva f(x) = \arctan(2x):

Ejemplo 2: una integral impropia.

Es una integral impropia convergente clásica.

Ejemplo 3: completar el cuadrado. Calcula \int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Escribe x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 y usa a = 2:

Ejemplo 4: una integral definida. \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.

Errores comunes

1. Escribir la derivada como \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. La arcotangente no lleva raíz cuadrada. La raíz corresponde al arcoseno y al arcocoseno (con 1 - x^2).
2. Olvidar el \frac{1}{a}. \int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C, no \arctan\frac{x}{3} + C.
3. Leer \tan^{-1}x como \cot x. \frac{1}{\tan x} es la cotangente, otra función distinta (consulta las funciones trigonométricas recíprocas).
4. Responder fuera del rango. \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, no \frac{3\pi}{4}.

Cómo se relaciona la arcotangente con otros temas

La sustitución x = a\tan\theta de la sustitución trigonométrica produce resultados con arcotangente. Su serie de potencias, \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots para |x| \le 1, se obtiene integrando la serie geométrica de \frac{1}{1+x^2}, y en x = 1 da la famosa \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots.