Arkustangens arctan(x): Graph, Asymptoten, Ableitung und Integral

Die Arkustangensfunktion macht den Tangens rückgängig: \arctan x ist der Winkel in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), dessen Tangens x ist. Anders als Arkussinus und Arkuskosinus akzeptiert er jede reelle Zahl, weil der Tangens jeden reellen Wert annimmt. In der Analysis ist er als Stammfunktion von \frac{1}{1+x^2} bekannt.

Definition von arctan x

Da \tan y die Steigung einer Geraden mit dem Winkel y ist, kannst du dir \arctan m als den Winkel vorstellen, den eine Gerade mit Steigung m mit der positiven x-Achse bildet. Zum Beispiel ist \arctan 1 = \frac{\pi}{4}: Eine Gerade mit Steigung 1 bildet einen Winkel von 45 Grad.

Graph von y = arctan x

Wichtige Werte des Arkustangens

Eigenschaften des Arkustangens

• Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Die Randwerte werden nie erreicht.
• Steigend und ungerade. \arctan(-x) = -\arctan x.
• Grenzwerte im Unendlichen. \lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} und \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}. Siehe Grenzwerte im Unendlichen.
• Aufheben. \tan(\arctan x) = x für alle x; \arctan(\tan x) = x nur für x in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
• Kehrwert-Identität. Für x > 0 gilt \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}.

Ableitung von arctan x

Warum. Sei y = \arctan x, also \tan y = x. Implizites Differenzieren ergibt \sec^2 y\cdot y' = 1, also y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.

Die Ableitung ist immer positiv und am größten bei x = 0, wo sie 1 beträgt. Mit wachsendem |x| geht sie gegen 0, passend dazu, wie der Graph flacher wird.

Integrale mit dem Arkustangens

Diese Integrale treten immer dann auf, wenn ein nicht zerlegbarer quadratischer Term im Nenner steht, was bei der Partialbruchzerlegung häufig vorkommt.

Das Integral des Arkustangens selbst erhältst du durch partielle Integration mit u = \arctan x, dv = dx:

Ein Betrag ist nicht nötig, weil 1 + x^2 > 0 gilt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. Leite f(x) = \arctan(2x) ab:

Beispiel 2: ein uneigentliches Integral.

Das ist ein klassisches konvergentes uneigentliches Integral.

Beispiel 3: quadratische Ergänzung. Berechne \int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Schreibe x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 und verwende a = 2:

Beispiel 4: ein bestimmtes Integral. \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.

Häufige Fehler

1. Die Ableitung als \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} schreiben. Beim Arkustangens gibt es keine Wurzel. Die Wurzel gehört zu Arkussinus und Arkuskosinus (mit 1 - x^2).
2. Den Faktor \frac{1}{a} vergessen. \int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C, nicht \arctan\frac{x}{3} + C.
3. \tan^{-1}x als \cot x lesen. \frac{1}{\tan x} ist der Kotangens, eine andere Funktion (siehe reziproke trigonometrische Funktionen).
4. Ein Ergebnis außerhalb des Wertebereichs angeben. \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, nicht \frac{3\pi}{4}.

Zusammenhänge mit anderen Themen

Die Substitution x = a\tan\theta bei der trigonometrischen Substitution führt zu Ergebnissen mit dem Arkustangens. Seine Potenzreihe, \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots für |x| \le 1, entsteht durch Integrieren der geometrischen Reihe für \frac{1}{1+x^2}, und bei x = 1 ergibt sie die berühmte Formel \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots.