Arc tangente arctan(x) : courbe, asymptotes, dérivée et primitive

La fonction arc tangente défait la tangente : \arctan x est l'angle de \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) dont la tangente vaut x. Contrairement à l'arc sinus et à l'arc cosinus, elle accepte tous les nombres réels, car la tangente prend toutes les valeurs réelles. En analyse, elle est célèbre comme primitive de \frac{1}{1+x^2}.

Définition de arctan x

Comme \tan y est la pente d'une droite faisant un angle y, on peut voir \arctan m comme l'angle que fait une droite de pente m avec la partie positive de l'axe des x. Par exemple, \arctan 1 = \frac{\pi}{4} : une droite de pente 1 fait un angle de 45 degrés.

Courbe de y = arctan x

Valeurs remarquables de l'arc tangente

Propriétés de l'arc tangente

• Domaine de définition : tous les réels ; ensemble image \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). Les bornes ne sont jamais atteintes.
• Croissante et impaire. \arctan(-x) = -\arctan x.
• Limites en l'infini. \lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2} et \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}. Voir les limites en l'infini.
• Simplification. \tan(\arctan x) = x pour tout x ; \arctan(\tan x) = x seulement pour x dans \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
• Identité de l'inverse. Pour x > 0, \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}.

Dérivée de arctan x

Pourquoi. Posons y = \arctan x, donc \tan y = x. La dérivation implicite donne \sec^2 y\cdot y' = 1, donc y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.

La dérivée est toujours positive et maximale en x = 0, où elle vaut 1. Elle tend vers 0 quand |x| augmente, ce qui correspond à l'aplatissement de la courbe.

Intégrales faisant intervenir l'arc tangente

Elles apparaissent dès qu'un trinôme sans racine réelle figure au dénominateur, ce qui est fréquent dans la décomposition en éléments simples.

Une primitive de l'arc tangente elle-même s'obtient par intégration par parties avec u = \arctan x, dv = dx :

Aucune valeur absolue n'est nécessaire, car 1 + x^2 > 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : dérivation en chaîne. Dérivons f(x) = \arctan(2x) :

Exemple 2 : une intégrale impropre.

C'est un exemple classique d'intégrale impropre convergente.

Exemple 3 : mise sous forme canonique. Calculons \int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. On écrit x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 et on prend a = 2 :

Exemple 4 : une intégrale définie. \int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}.

Erreurs fréquentes

1. Écrire la dérivée sous la forme \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. Il n'y a pas de racine carrée pour l'arc tangente. La racine carrée concerne l'arc sinus et l'arc cosinus (avec 1 - x^2).
2. Oublier le \frac{1}{a}. \int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C, et non \arctan\frac{x}{3} + C.
3. Lire \tan^{-1}x comme \cot x. \frac{1}{\tan x} est la cotangente, une fonction différente (voir sécante, cosécante et cotangente).
4. Répondre hors de l'ensemble image. \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, et non \frac{3\pi}{4}.

Liens entre l'arc tangente et d'autres notions

Le changement de variable x = a\tan\theta du changement de variable trigonométrique conduit à des résultats en arc tangente. Son développement en série entière, \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots pour |x| \le 1, s'obtient en intégrant la série géométrique de \frac{1}{1+x^2}, et en x = 1 il donne la célèbre formule \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots.