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Potencias, raíces y funciones racionales

Integral de 1/x²: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de 1/x² es -1/x + C. Escríbela como x^(-2), comprueba derivando y mira integrales impropias de 1 a infinito y la clásica trampa de -1 a 1.

Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
Antiderivada
-\dfrac{1}{x} + C
Reescribe primero
\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}
Válida para
x \ne 0
Integral impropia
\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1
Comprobación
\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}
En esta página
  1. Gráfica de 1/x² y el área bajo ella
  2. Deducción paso a paso
  3. Comprobación derivando
  4. Integrales impropias
  5. La trampa clásica: integrar atravesando el cero
  6. Variante por sustitución
  7. Ejemplos resueltos
  8. Errores comunes

La integral de \dfrac{1}{x^2} es -\dfrac{1}{x} + C. A diferencia de \frac{1}{x}, esta se resuelve con la regla de la potencia inversa de siempre.

\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

Gráfica de 1/x² y el área bajo ella

Área bajo y = 1/x² entre 1 y 3, con la antiderivada y = -1/x
El área sombreada es -\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}. La curva discontinua y = -\frac{1}{x} siempre sube, porque \frac{1}{x^2} siempre es positiva.

Deducción paso a paso

  1. Escríbela como potencia: \frac{1}{x^2} = x^{-2}.
  2. Aplica la regla de la potencia inversa con n = -2.
  3. Suma uno al exponente: -2 + 1 = -1.
  4. Divide entre -1: \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
  5. Añade C.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark

La regla en sentido directo está en la página de la derivada de 1/x², y la página de la derivada de 1/x muestra que \frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, que es el mismo hecho leído al revés.

Integrales impropias

El área bajo \frac{1}{x^2} hasta el infinito es finita:

\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1

Compárala con \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx, que diverge porque \ln b \to \infty. Este contraste es el origen del criterio p para integrales y series. La lección sobre límites de integración infinitos lo trata en detalle.

Cerca de cero la situación se invierte: \int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty.

La trampa clásica: integrar atravesando el cero

Sustituir en la antiderivada da

\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2

Pero \frac{1}{x^2} es positiva en todas partes, así que su integral no puede ser negativa. El error es que \frac{1}{x^2} tiene una asíntota vertical en x = 0, por lo que el Teorema Fundamental del Cálculo no se aplica en [-1, 1]. Divide la integral en 0: cada mitad diverge, así que la integral completa diverge.

Variante por sustitución

Con u = ax + b:

\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C

Por ejemplo, \int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C. Comprobación: la derivada es \frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C.

Ejemplo 2. \int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C. Primero separa y luego usa la integral de 1/x para el primer término.

Ejemplo 3. \int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Ejemplo 4. \int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C.

Errores comunes

  1. Escribir \ln(x^2). El logaritmo solo aparece con \frac{1}{x}.
  2. Escribir -\frac{1}{x^3} o \frac{1}{x}. El exponente sube en uno (-2 \to -1), y se divide entre -1, lo que cambia el signo.
  3. Integrar atravesando una asíntota. Comprueba siempre si hay divisiones entre cero dentro del intervalo.
  4. Escribir \frac{1}{3x^3} tratando \frac{1}{x^2} como (x^2) e integrando eso. Escríbela primero como x^{-2}.

Prueba los ejercicios de integrales impropias para practicar el caso infinito.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de 1/x²?
La integral de \frac{1}{x^2} es -\frac{1}{x} + C.

¿Cuánto vale la integral de 1/x² de 1 a infinito?
Vale 1. La antiderivada -\frac{1}{x} pasa de -1 en x = 1 a 0 cuando x \to \infty, un cambio de 1.

¿Por qué la integral de 1/x² entre -1 y 1 no es -2?
Al sustituir se obtiene -1 - 1 = -2, pero es incorrecto. \frac{1}{x^2} se dispara en x = 0, así que el Teorema Fundamental no se aplica. En realidad la integral diverge a infinito.

¿La integral de 1/x² es ln(x²)?
No. El \ln solo aparece con \frac{1}{x}. Para \frac{1}{x^2} funciona la regla de la potencia inversa, que da -\frac{1}{x} + C.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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