Integral von 1/x²: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \dfrac{1}{x^2} ist -\dfrac{1}{x} + C. Anders als bei \frac{1}{x} reicht hier die gewöhnliche Potenzregel für Integrale.

Graph von 1/x² und die Fläche darunter

Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe als Potenz: \frac{1}{x^2} = x^{-2}.
2. Wende die Potenzregel für Integrale mit n = -2 an.
3. Erhöhe den Exponenten um eins: -2 + 1 = -1.
4. Teile durch -1: \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
5. Ergänze C.

Probe durch Ableiten

Die Regel in der anderen Richtung steht auf der Seite zur Ableitung von 1/x², und die Seite zur Ableitung von 1/x zeigt \frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}, also dieselbe Tatsache andersherum gelesen.

Uneigentliche Integrale

Die Fläche unter \frac{1}{x^2} bis ins Unendliche ist endlich:

Vergleiche das mit \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx, das divergiert, weil \ln b \to \infty. Dieser Gegensatz ist der Ausgangspunkt des p-Kriteriums für Integrale und Reihen. Die Lektion zu unendlichen Integrationsgrenzen behandelt das ausführlich.

In der Nähe von null ist es umgekehrt: \int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty.

Die klassische Falle: über null hinweg integrieren

Einsetzen in die Stammfunktion ergibt

Aber \frac{1}{x^2} ist überall positiv, das Integral kann also nicht negativ sein. Der Fehler: \frac{1}{x^2} hat bei x = 0 eine senkrechte Asymptote, also ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf [-1, 1] nicht anwendbar. Teile das Integral bei 0: Beide Hälften divergieren, also divergiert das ganze Integral.

Variante mit Substitution

Mit u = ax + b:

Zum Beispiel ist \int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C. Probe: Die Ableitung ist \frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C.

Beispiel 2. \int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C. Erst aufteilen, dann für den ersten Teil das Integral von 1/x verwenden.

Beispiel 3. \int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Beispiel 4. \int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C.

Häufige Fehler

1. \ln(x^2) schreiben. Der Logarithmus taucht nur bei \frac{1}{x} auf.
2. -\frac{1}{x^3} oder \frac{1}{x} schreiben. Der Exponent steigt um eins (-2 \to -1), und du teilst durch -1, was das Vorzeichen umdreht.
3. Über eine Asymptote hinweg integrieren. Prüfe immer, ob im Intervall durch null geteilt wird.
4. \frac{1}{3x^3} schreiben, weil man \frac{1}{x^2} wie (x^2) behandelt und das integriert. Schreibe zuerst x^{-2}.

Mit den Aufgaben zu uneigentlichen Integralen übst du den Fall bis unendlich.