practicecalculus
Starten
practicecalculus
Potenzen, Wurzeln und Polynome

Ableitung der dritten Wurzel von x: Formel, Beweis und Beispiele

Die Ableitung der dritten Wurzel von x ist 1/(3∛(x²)). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der senkrechten Tangente bei 0 und der Kettenregel.

Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}
Ableitung
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} für x \ne 0
Als Potenz
\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}
Bei x = 0
Nicht differenzierbar, die Tangente ist senkrecht
Definitionsbereich
Alle reellen Zahlen, anders als bei \sqrt{x}
Auf dieser Seite
  1. Graph von ∛x und seiner Ableitung
  2. Beweis mit der Potenzregel
  3. Beweis mit dem Differenzenquotienten
  4. Warum die Ableitung bei 0 nicht existiert
  5. Kettenregel und andere Wurzeln
  6. Typische Fehler

Die Ableitung von \sqrt[3]{x} ist \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, für jedes x \ne 0. Schreibe die dritte Wurzel als Potenz x^{1/3}, und die Potenzregel erledigt den Rest.

\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Graph von ∛x und seiner Ableitung

Graph von y = ∛x und seiner Ableitung
Die dritte Wurzel verläuft mit senkrechter Tangente durch den Ursprung. Ihre Ableitung ist auf beiden Seiten positiv und schießt in der Nähe von x = 0 nach oben.

Die Ableitung ist bei x = 1 und x = -1 gleich. Da x^2 für x und -x denselben Wert hat, ist die Ableitung eine gerade Funktion.

Beweis mit der Potenzregel

Mit der Potenzregel für n = \frac{1}{3}:

\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}

Ein negativer Exponent bringt die Potenz in den Nenner, und es gilt x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}.

Beweis mit dem Differenzenquotienten

Sei a = \sqrt[3]{x + h} und b = \sqrt[3]{x}. Dann gilt a^3 - b^3 = h. Mit der Formel für die Differenz zweier Kuben a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) folgt

\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}

Für h \to 0 geht a \to b, der Grenzwert ist also \frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. Dafür braucht man b \ne 0, und genau deshalb scheitert es bei x = 0.

Warum die Ableitung bei 0 nicht existiert

Bei x = 0 ist der Differenzenquotient \frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}, und der geht von beiden Seiten gegen +\infty. Die Kurve ist stetig, hat aber eine senkrechte Tangente. Das ist ein Standardbeispiel für eine Funktion, die stetig, aber nicht differenzierbar ist.

Kettenregel und andere Wurzeln

Für die dritte Wurzel eines Ausdrucks liefert die Kettenregel

\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}.

Beispiel 3. Jede Wurzel funktioniert genauso: \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}. Für n = 4 ist das \frac{1}{4}x^{-3/4}.

Beispiel 4: eine Tangente. Bei x = 8 ist \sqrt[3]{8} = 2 und die Steigung \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}. Also gilt \sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083. Der wahre Wert ist ungefähr 2.080.

Typische Fehler

  1. x^{-1/3} schreiben. Der neue Exponent ist \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.
  2. Die 3 an die falsche Stelle setzen. Das Ergebnis ist \frac{1}{3}x^{-2/3}, nicht 3x^{-2/3}.
  3. Glauben, negative x seien verboten. Dritte Wurzeln aus negativen Zahlen sind reell, die Ableitung existiert also für jedes x außer 0.

Zum Vergleich: Die Ableitung von √x ist nur für x > 0 definiert.

Jetzt üben

Die Potenzregel

Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.

Diese Lektion üben

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung der dritten Wurzel von x?
Sie lautet \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, also dasselbe wie \frac{1}{3}x^{-2/3}.

Ist die dritte Wurzel von x bei 0 differenzierbar?
Nein. Die Funktion ist bei 0 stetig, aber der Differenzenquotient \frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} wächst über alle Grenzen, also ist die Tangente im Ursprung senkrecht.

Was ist die Ableitung von x^(2/3)?
Mit der Potenzregel: \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}. Anders als bei x^{1/3} wechselt diese Ableitung bei 0 das Vorzeichen, der Graph hat dort eine Spitze.

Was ist die Ableitung der dritten Wurzel von (x² + 1)?
Mit der Kettenregel: \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

Wir entwickeln interaktive Analysis-Lektionen und schreiben jede Seite klar und korrekt. Ist dir ein Fehler aufgefallen? Sag uns Bescheid, dann beheben wir ihn.

Weitere ableitungen

Ableitung von √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} Die Ableitung von √x ist 1/(2√x). Mit Beweisen über Potenzregel und Grenzwert, der Kettenregel für √u, dem Problem bei x = 0 und Beispielen wie √(x² + 1). Ableitung von x \frac{d}{dx}\,x = 1 Die Ableitung von x ist 1. Mit Begründung über den Differenzenquotienten und die Potenzregel sowie den Ableitungen von 5x, ax + b und x nach anderen Variablen. Ableitung von 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} Die Ableitung von 1/x ist -1/x². Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Potenzregel für x⁻¹, der Kettenregel für 1/u und Beispielen wie 1/(2x + 5).