Ableitung von cos²x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von cos²x ist -2 sin x cos x, also -sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit Identitäten und Beispielen wie cos²(4x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -2\sin x\cos x
- Vereinfacht
- -\sin 2x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\cos^2 u = -2\cos u\sin u\cdot u'
- Nicht zu verwechseln mit
- \cos(x^2), dessen Ableitung -2x\sin(x^2) ist
- Integral von cos²x
- \int\cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \cos^2 x ist -2\sin x\cos x, und das ist dasselbe wie -\sin 2x.
Graph von cos²x und seiner Ableitung
Beweis mit der Kettenregel
\cos^2 x bedeutet (\cos x)^2. Die äußere Funktion ist das Quadrat, die innere ist \cos x. Mit der Kettenregel und der Ableitung von cos x:
Wegen 2\sin x\cos x = \sin 2x ist das -\sin 2x.
Probe mit einer Formel zur Potenzreduktion
Nutze \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}:
Probe mit sin²x
Weil \cos^2 x = 1 - \sin^2 x gilt, muss die Ableitung 0 - \sin 2x sein, also das Negative der Ableitung von sin²x. Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden y = \frac{1}{2}, ihre Steigungen sind also immer entgegengesetzt.
Varianten mit der Kettenregel
| Funktion | Ableitung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| \cos^2(4x) | -8\cos 4x\sin 4x | -4\sin 8x |
| \cos^2(x^2) | -4x\cos(x^2)\sin(x^2) | -2x\sin(2x^2) |
| \cos^2(\pi x) | -2\pi\cos(\pi x)\sin(\pi x) | -\pi\sin(2\pi x) |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{6} ist die Steigung -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866.
Beispiel 2: eine höhere Potenz. \frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\cos^2 x\sin x.
Beispiel 3: ein Produkt. \frac{d}{dx}\left(x\cos^2 x\right) = \cos^2 x - x\sin 2x.
Beispiel 4: Wo ist die Kurve waagerecht? -\sin 2x = 0 gilt für x = \frac{k\pi}{2}. Bei geraden Vielfachen von \frac{\pi}{2} ist \cos^2 x = 1 (Hochpunkte). Bei ungeraden Vielfachen ist \cos^2 x = 0 (Tiefpunkte).
Wo dir das begegnet
Die Funktion \cos^2 x taucht in Physik und Technik immer dann auf, wenn eine Kosinusschwingung quadriert wird. Die Leistung eines Wechselstroms ist proportional zu \cos^2(\omega t), und die Intensität von polarisiertem Licht hinter einem Filter folgt \cos^2\theta. In jedem Fall sagt dir die Ableitung, wie schnell sich diese Größe ändert. Weil sich das Ergebnis zu -\sin 2x vereinfacht, ist die Änderungsrate selbst eine einfache Schwingung, doppelt so schnell wie der ursprüngliche Kosinus. In dieser kurzen Form findest du außerdem leichter, wo die Steigung null, positiv oder negativ ist.
Typische Fehler
- Das Minuszeichen verlieren. Es steckt in der inneren Ableitung -\sin x.
- 2\cos x oder -\sin^2 x als Antwort. Keines davon wendet die Kettenregel richtig an.
- \cos^2 x mit \cos(x^2) verwechseln. \frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2).
Beim Integral von \cos^2 x hilft dieselbe Identität, siehe das Integral von cos²x.
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