Ableitung von cos x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von cos x ist -sin x. Mit Beweis über den Grenzwert, einem schnellen Beweis über sin x, der Kettenregel für cos(u) und Beispielen wie cos(5x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -\sin x für jedes reelle x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'
- Zweite Ableitung
- -\cos x
- Einheit
- x muss im Bogenmaß angegeben sein
- Als Integral
- \int \cos x\,dx = \sin x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \cos x ist -\sin x. Der Kosinus startet bei x = 0 auf seinem Maximum und fällt dann, seine Steigung ist für kleine positive x also negativ, passend zu -\sin x < 0.
Graph von cos x und seiner Ableitung
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Das Additionstheorem liefert \cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h. Also gilt
Mit \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 und \frac{\sin h}{h} \to 1 folgt:
Ein schnellerer Beweis über sin x
Schreibe \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). Mit der Kettenregel und der Ableitung von sin x gilt dann:
wobei \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x verwendet wurde. Die -1 aus der inneren Funktion ist der Ursprung des Minuszeichens.
Mit der Kettenregel: Ableitung von cos(u)
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \cos(5x) | 5x | -5\sin(5x) |
| \cos(x^3) | x^3 | -3x^2\sin(x^3) |
| \cos(1 - x) | 1 - x | \sin(1 - x) |
| \cos(\ln x) | \ln x | -\frac{\sin(\ln x)}{x} |
In der dritten Zeile heben sich zwei Minuszeichen auf.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Produkt. \frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x), nach der Produktregel.
Beispiel 2: ein Quotient. \frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}, nach der Quotientenregel.
Beispiel 3: Bewegung. Die Position einer Feder ist s(t) = 4\cos(2t). Ihre Geschwindigkeit ist v(t) = -8\sin(2t), ihre Beschleunigung a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t). Die Beschleunigung zeigt also immer zurück zur Mitte.
Beispiel 4: eine waagerechte Tangente. \frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x. Das ist 0, wenn \sin x = \frac{1}{2} gilt, also bei x = \frac{\pi}{6} und x = \frac{5\pi}{6} in [0, 2\pi).
So merkst du dir das Vorzeichen
Stell dir den Einheitskreis vor. Der Kosinus ist die waagerechte Koordinate. Wächst der Winkel von 0 aus, bewegt sich der Punkt nach oben und nach links, die waagerechte Koordinate wird also kleiner. Eine kleiner werdende Größe hat eine negative Änderungsrate, deshalb ist die Ableitung -\sin x und nicht +\sin x.
Typische Fehler
- Das Minuszeichen weglassen. Das ist der häufigste Fehler bei trigonometrischen Ableitungen. Merke: "Ko"-Funktionen bekommen ein Minus.
- Durcheinander mit doppeltem Minus. \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x, also positiv.
- u' vergessen. \frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x), nicht -\sin(4x).
Die Umkehrung steht auf der Seite zum Integral von cos x. Die Seite zur Kosinusfunktion behandelt ihren Graphen und wichtige Werte.
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