Ableitung von sin 2x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sin 2x ist 2cos 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit 2 sin x cos x, der allgemeinen Regel für sin(ax) und Rechenbeispielen.
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2\cos 2x
- Allgemeine Regel
- \dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)
- Zweite Ableitung
- -4\sin 2x
- Periode
- \pi, halb so lang wie die Periode von \sin x
- Integral von sin 2x
- \int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sin 2x ist 2\cos 2x. Die Kettenregel holt den inneren Faktor 2 nach vorne, und die innere Funktion 2x bleibt gleich.
Graph von sin 2x und seiner Ableitung
Beweis mit der Kettenregel
Äußere Funktion \sin u, innere Funktion u = 2x, also u' = 2. Mit der Kettenregel und der Ableitung von sin x:
Probe mit der Formel für den doppelten Winkel
Schreibe \sin 2x = 2\sin x\cos x und nutze die Produktregel:
Mit der Formel \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x wird daraus 2\cos 2x. Zwei Methoden, ein Ergebnis.
Warum die 2 nach vorne kommt
Stauchst du den Graphen waagerecht um den Faktor 2, wird er überall doppelt so steil. Genau das hält der Faktor 2 vor \cos 2x fest. Allgemein gilt:
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \sin 3x | 3\cos 3x |
| \sin\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} |
| \sin(2x + 1) | 2\cos(2x + 1) |
| \sin(\pi x) | \pi\cos(\pi x) |
| 5\sin 2x | 10\cos 2x |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{6} ist die Steigung 2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1.
Beispiel 2: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x.
Beispiel 3: höhere Ableitungen. Jede Ableitung bringt eine weitere 2 hervor: \frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x, \frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x und \frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x.
Beispiel 4: ein Zusammenhang mit sin²x. Die Ableitung von sin²x ist \sin 2x. Also ist \sin^2 x eine Stammfunktion von \sin 2x, und -\frac{1}{2}\cos 2x ebenso. Die beiden unterscheiden sich um eine Konstante, denn \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x.
Wo dir das begegnet
Die Funktion \sin 2x taucht immer dann auf, wenn sich eine Schwingung doppelt so oft wiederholt wie \sin x. Sie erscheint auch als vereinfachtes Ergebnis, zum Beispiel als Ableitung von \sin^2 x. Kennst du ihre Ableitung, sparst du also Zeit bei zweiten Ableitungen. In der Physik steckt \sin 2\theta in der Wurfweite beim schiefen Wurf, und ihre Ableitung sagt dir, wie sich die Wurfweite ändert, wenn du den Abwurfwinkel veränderst.
Typische Fehler
- Die 2 vergessen. \frac{d}{dx}\sin 2x ist nicht \cos 2x.
- Die innere Funktion verändern. Das Ergebnis ist 2\cos 2x, nicht 2\cos x.
- Teilen statt multiplizieren. Das \frac{1}{2} kommt beim Integrieren vor, nicht beim Ableiten. Siehe das Integral von sin 2x.
- \sin 2x mit 2\sin x verwechseln. \frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x. Die Graphen sind verschieden.
Weitere Übungen findest du bei den Aufgaben zur Kettenregel.
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