Ableitung von csc x (Kosekans): Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von csc x ist -csc x cot x. Mit Beweis über 1/sin x, der Kettenregel für csc(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie csc(3x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -\csc x\cot x für x \ne k\pi
- Mit sin und cos
- -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'
- Steigung bei x = π/2
- -\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0
- Als Integral
- \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \csc x ist -\csc x\cot x. Der Kosekans ist \frac{1}{\sin x}, und wie jede trigonometrische "Ko"-Funktion hat seine Ableitung ein Minuszeichen.
Graph von csc x und seiner Ableitung
Beweis mit der Kettenregel
Schreibe \csc x = (\sin x)^{-1}. Mit der Kettenregel:
Zerlege den Bruch:
Das ist ein Spezialfall des Musters aus der Ableitung von 1/x, \frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}, mit u = \sin x.
Ein Muster, das sich lohnt
Die sechs trigonometrischen Ableitungen treten paarweise auf. Tausche jede Funktion gegen ihr "Ko"-Gegenstück und dreh das Vorzeichen um:
| Funktion | Ableitung | Partner | Ableitung |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \cos x | -\sin x |
| \tan x | \sec^2 x | \cot x | -\csc^2 x |
| \sec x | \sec x\tan x | \csc x | -\csc x\cot x |
Wenn du dir also die Ableitung von sec x merkst, bekommst du die von \csc x gratis dazu.
Mit der Kettenregel: Ableitung von csc(u)
Beispiel 1. \frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x).
Beispiel 2. \frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2).
Beispiel 3. \frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}.
Weitere Rechenbeispiele
Beispiel 4: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x.
Beispiel 5: eine Potenz. \frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x.
Beispiel 6: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{6} ist \csc\frac{\pi}{6} = 2 und \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, die Steigung ist also -2\sqrt{3} \approx -3.46. Die Kurve fällt dort steil, passend zum Graphen.
So liest du den Graphen
Jeder Ast des Kosekans ist eine U-Form oberhalb oder unterhalb der Achse. Auf dem oberen Ast zwischen 0 und \pi fällt die Kurve in der linken Hälfte und steigt in der rechten, mit ihrem tiefsten Punkt bei x = \frac{\pi}{2}. Die Ableitung erzählt dieselbe Geschichte: links negativ, im Tiefpunkt null, rechts positiv. In der Nähe der Asymptoten bei 0 und \pi verläuft die Kurve fast senkrecht, dort wird der Betrag der Ableitung beliebig groß. Mit diesem Bild im Kopf kannst du das Vorzeichen jedes berechneten Ergebnisses schnell prüfen.
Typische Fehler
- Das Minuszeichen weglassen. Die "Ko"-Regel: \cos, \cot und \csc haben alle negative Ableitungen.
- -\cot^2 x oder -\csc^2 x schreiben. -\csc^2 x ist die Ableitung von \cot x. Die Ableitung von \csc x ist -\csc x\cot x.
- Den Kehrwert verwechseln. \csc x = \frac{1}{\sin x}, nicht \frac{1}{\cos x}.
Die Integralseite findest du unter Integral von csc x. Zum Üben eignen sich die Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen.
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