Ableitung von sec x (Sekans): Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sec x ist sec x tan x. Mit Beweis über 1/cos x, der Kettenregel für sec(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sec(2x) und x sec x.
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \sec x\tan x für x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Mit sin und cos
- \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'
- Steigung bei x = 0
- \sec 0\tan 0 = 0
- Als Integral
- \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sec x ist \sec x\tan x. Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus, seine Ableitung folgt also direkt aus der Ableitung von cos x.
Graph von sec x und seiner Ableitung
Beweis mit der Kettenregel
Schreibe \sec x = (\cos x)^{-1}. Die Kettenregel mit der Potenz -1 außen und \cos x innen liefert
Zerlege den Bruch in zwei vertraute Teile:
Die Quotientenregel für \frac{1}{\cos x} liefert dasselbe: \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}.
Mit der Kettenregel: Ableitung von sec(u)
\sec und \tan behalten beide dieselbe innere Funktion.
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \sec(2x) | 2x | 2\sec(2x)\tan(2x) |
| \sec(x^2) | x^2 | 2x\sec(x^2)\tan(x^2) |
| \sec(3x + 1) | 3x + 1 | 3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1) |
| \sec\left(\frac{1}{x}\right) | \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x} |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x).
Beispiel 2: eine Potenz. \frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x.
Beispiel 3: eine Summe, die sich vereinfacht. \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x). Dieses schöne Ergebnis ist der Trick hinter dem Integral von sec x, \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.
Beispiel 4: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{3} ist \sec\frac{\pi}{3} = 2 und \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, die Steigung ist also 2\sqrt{3} \approx 3.46.
So merkst du es dir
Sekans und Tangens treten in der Analysis immer gemeinsam auf. Die Ableitung von \tan x ist \sec^2 x, und die Ableitung von \sec x ist \sec x\tan x. So hältst du sie auseinander: In der Ableitung des Tangens kommt kein Tangens vor, die Ableitung des Sekans enthält beide Funktionen je einmal. Auch ein Wert hilft beim Prüfen. Bei x = 0 hat der Sekans sein Minimum, die Steigung muss also null sein, und tatsächlich ist \tan 0 = 0.
Typische Fehler
- \tan^2 x oder \sec^2 x schreiben. Die Ableitung von \sec x ist \sec x\tan x. \sec^2 x ist die Ableitung von \tan x.
- Ein Minuszeichen hinzufügen. Der Sekans ist keine "Ko"-Funktion, seine Ableitung ist also positiv. Vergleiche mit der Ableitung von csc x, -\csc x\cot x.
- Nur eine innere Funktion ändern. \frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x). Beide Faktoren behalten 5x.
Rückwärts gelesen ergibt sich das Integral von sec x tan x. Die Seite zu den reziproken trigonometrischen Funktionen zeigt den Graphen des Sekans.
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