Integral von sec x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \sec x ist \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Der Sekans sec x ist der Kehrwert des Kosinus, es geht hier also um das Integral von 1/cos x. Berühmt ist es, weil die übliche Herleitung einen Trick braucht, auf den man zunächst kaum kommt, und weil es in schwierigeren Integralen wie \int\sec^3 x\,dx wieder auftaucht.

Graph von sec x und die Fläche darunter

Herleitung Schritt für Schritt

1. Multipliziere mit einer geschickt gewählten 1: \int\sec x\,dx = \int\sec x\cdot\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}\,dx = \int\frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx
2. Betrachte den Nenner u = \sec x + \tan x. Seine Ableitung ist \sec x\tan x + \sec^2 x, also genau der Zähler.
3. Also ist du = (\sec^2 x + \sec x\tan x)\,dx, und das Integral wird zu \int\frac{du}{u}.
4. Integriere: \ln\lvert u\rvert + C = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Schritt 2 verwendet die Ableitung von sec x und die Ableitung von tan x. Schritt 4 verwendet das Integral von 1/x.

Probe durch Ableiten

Gleichwertige Formen

In Tabellen oder bei Computeralgebrasystemen findest du eventuell andere Ergebnisse. Sie beschreiben alle dieselbe Funktion.

Wegen \sec x + \tan x = \frac{1 + \sin x}{\cos x} ergibt Quadrieren

Also ist \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}\right\rvert. Mit einer Halbwinkelformel erhält man außerdem \ln\left\lvert\tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right\rvert. Diese letzte Form bestimmt in der Mercator-Projektion die Abstände der Breitenkreise, und auf diesem Weg wurde das Integral ursprünglich entdeckt.

Bestimmte Integrale

Da \sec x gerade ist, gilt \int_{-a}^{a}\sec x\,dx = 2\ln(\sec a + \tan a) für 0 < a < \frac{\pi}{2}.

Varianten mit Substitution

Zum Beispiel ist \int\sec(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec 2x + \tan 2x\rvert + C.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: zuerst umschreiben. \int\frac{1}{\cos x}\,dx ist einfach \int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Beispiel 2: eine Summe. \int(\sec x + \sec^2 x)\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + \tan x + C.

Beispiel 3: innerhalb eines größeren Integrals. Partielle Integration macht aus \int\sec^3 x\,dx den Ausdruck \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\int\sec x\,dx. Siehe Integral von sec³ x.

Beispiel 4: aus einer trigonometrischen Substitution. \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} wird mit x = \tan\theta zu \int\sec\theta\,d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C = \ln\left(\sqrt{x^2 + 1} + x\right) + C.

Häufige Fehler

1. \sec x\tan x angeben. Das ist die Ableitung von \sec x. Das zugehörige Integral findest du auf der Seite Integral von sec x tan x, dort in die andere Richtung.
2. \ln\lvert\sec x\rvert angeben. Das ist das Integral von tan x.
3. \tan x angeben. Das kommt von \sec^2 x, nicht von \sec x.
4. Den Betrag weglassen auf Intervallen, auf denen \sec x + \tan x < 0 ist.

Die Kosekans-Variante funktioniert genauso: siehe Integral von csc x.