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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von sec x tan x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von sec x tan x ist sec x + C. Warum es die Ableitung von sec x umkehrt, wie du es als sin x/cos² x erkennst, und Beispiele.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
Stammfunktion
\sec x + C
Dasselbe wie
\int\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = \sec x + C
Lineare Form
\int\sec(ax)\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\sec(ax) + C
Kosekans-Gegenstück
\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
Von 0 bis π/3
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Auf dieser Seite
  1. Graph von sec x tan x und seiner Stammfunktion
  2. Herleitung
  3. Probe durch Ableiten
  4. Das Integral in Verkleidung erkennen
  5. Bestimmte Integrale
  6. Varianten mit Substitution
  7. Häufige Fehler

Das Integral von \sec x\tan x ist \sec x + C. Es kehrt eine der sechs trigonometrischen Grundableitungen um, deshalb lohnt es sich, es auf einen Blick zu erkennen.

\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C

Graph von sec x tan x und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = sec x tan x von 0 bis π/3, mit der Stammfunktion y = sec x
Die schraffierte Fläche ist \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1. Die gestrichelte Kurve y = \sec x hat ihr Minimum bei x = 0, genau dort, wo \sec x\tan x null wird.

\sec x\tan x ist eine ungerade Funktion, also ist ihre Stammfunktion \sec x gerade.

Herleitung

  1. Erinnere dich an die Ableitung von sec x: \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x.
  2. Kehre sie um: \sec x ist eine Stammfunktion von \sec x\tan x.
  3. Ergänze C.

Wenn du sehen willst, woher die Ableitung kommt, schreibe \sec x = (\cos x)^{-1} und verwende die Kettenregel:

\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x\tan x

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}(\sec x + C) = \sec x\tan x \checkmark

Das Integral in Verkleidung erkennen

Das Integral kommt nicht immer mit Etikett daher. Jeder dieser Integranden ist \sec x\tan x:

Integrand Umgeschrieben Integral
\frac{\sin x}{\cos^2 x} \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} \sec x + C
\frac{\tan x}{\cos x} \tan x\sec x \sec x + C
\frac{\sin x}{1 - \sin^2 x} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \sec x + C

Die erste Zeile kannst du auch direkt mit u = \cos x lösen: \int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C. Das Ergebnis ist also einfach 1/cos x + C.

Bestimmte Integrale

\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx = 2 - 1 = 1, \qquad \int_0^{\pi/4}\sec x\tan x\,dx = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414

Über einem symmetrischen Intervall wie \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] ist das Integral 0, weil der Integrand ungerade ist.

Varianten mit Substitution

\int\sec(ax + b)\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sec(ax + b) + C

Beispiel 1. \int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C.

Beispiel 2: Potenzen von sec. Mit u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx:

\int\sec^3 x\tan x\,dx = \int\sec^2 x\cdot(\sec x\tan x)\,dx = \int u^2\,du = \frac{\sec^3 x}{3} + C

Beispiel 3: ungerade Potenzen von tan. \int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C.

Beispiel 4: das Kosekans-Gegenstück. \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C, da \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x.

Häufige Fehler

  1. Jeden Faktor einzeln integrieren. \int\sec x\tan x\,dx ist nicht \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert. Integrale lassen sich nicht auf Produkte verteilen.
  2. \tan x angeben. Das ist das Integral von \sec^2 x. Siehe Integral von sec² x.
  3. \csc x für die Kosekans-Variante angeben. Dort gehört ein Minuszeichen hin: -\csc x + C.
  4. Die Verkleidung übersehen. Versuche immer erst, \frac{\sin x}{\cos^2 x} umzuschreiben, bevor du zu einer schwierigeren Methode greifst.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von sec x tan x?
Das Integral von \sec x\tan x ist \sec x + C.

Was ist das Integral von sin x / cos² x?
Wegen \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x ist das Integral \sec x + C.

Was ist das Integral von sec(2x) tan(2x)?
Es ist \frac{1}{2}\sec(2x) + C.

Was ist das Integral von csc x cot x?
Es ist -\csc x + C, weil die Ableitung von \csc x gleich -\csc x\cot x ist.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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