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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von tan² x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von tan² x ist tan x - x + C. Wie die Identität tan² x = sec² x - 1 die ganze Arbeit macht, dazu tan²(ax), tan³ x und bestimmte Integrale.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C
Stammfunktion
\tan x - x + C
Verwendete Identität
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
Von 0 bis π/4
1 - \dfrac{\pi}{4} \approx 0.215
Lineare Form
\int\tan^2(ax)\,dx = \dfrac{\tan(ax)}{a} - x + C
Kotangens-Gegenstück
\int\cot^2 x\,dx = -\cot x - x + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von tan² x und seiner Stammfunktion
  2. Herleitung Schritt für Schritt
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmte Integrale
  5. Varianten mit Substitution
  6. Höhere Potenzen von tan
  7. Häufige Fehler

Das Integral von \tan^2 x ist \tan x - x + C. Eine einzige Identität verwandelt es in zwei Integrale, die du schon kennst.

\int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C

Graph von tan² x und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = tan² x von 0 bis π/4, mit der Stammfunktion y = tan x - x
Die schraffierte Fläche ist 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215. Die gestrichelte Stammfunktion verläuft im Ursprung waagerecht, weil \tan^2 0 = 0 ist, und fällt nie.

Herleitung Schritt für Schritt

  1. Starte mit dem trigonometrischen Pythagoras \sin^2 x + \cos^2 x = 1. Teile durch \cos^2 x und erhalte \tan^2 x + 1 = \sec^2 x.
  2. Stelle um: \tan^2 x = \sec^2 x - 1.
  3. Setze ein: \displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx.
  4. Verwende das Integral von sec² x, also \tan x, und das Integral einer Konstanten, also x.
  5. Fasse zusammen: \tan x - x + C.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \checkmark

Bestimmte Integrale

\int_0^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = \left(\tan\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215
\int_0^{\pi/3}\tan^2 x\,dx = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \approx 0.685

Da \tan^2 x gerade ist, gilt \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}.

Varianten mit Substitution

\int\tan^2(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax + b) - x + C

Beachte, dass nur der Summand mit \tan den Faktor \frac{1}{a} bekommt. Das -x entsteht beim Integrieren der Konstanten 1, die keine innere Funktion hat.

Beispiel 1. \int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C.

Beispiel 2. \int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C.

Höhere Potenzen von tan

Die Identität \tan^2 x = \sec^2 x - 1 ist der Schlüssel zu jeder Potenz von \tan x.

Beispiel 3: tan³ x.

\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x(\sec^2 x - 1)\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx

Der erste Teil ist \frac{\tan^2 x}{2} mit u = \tan x. Der zweite ist das Integral von tan x. Also

\int\tan^3 x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C

Beispiel 4: tan² x sec² x. Hier funktioniert u = \tan x direkt: \int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C. Das ist der einzige Fall, in dem \frac{\tan^3 x}{3} das richtige Ergebnis ist, weil der Faktor \sec^2 x dasteht.

Beispiel 5: tan⁴ x. \tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x, also

\int\tan^4 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} - \tan x + x + C

Häufige Fehler

  1. \frac{\tan^3 x}{3} angeben. Dafür bräuchte man einen Faktor \sec^2 x. Probe: Die Ableitung davon ist \tan^2 x\sec^2 x.
  2. \sec^2 x oder \ln^2\lvert\sec x\rvert angeben. Keines von beiden ergibt abgeleitet \tan^2 x.
  3. Die Identität verdrehen. Es heißt \sec^2 x - 1, nicht 1 - \sec^2 x. Teste bei x = \frac{\pi}{4}: \tan^2 = 1 und \sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
  4. Das -x durch a teilen bei \int\tan^2(ax)\,dx.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von tan² x?
Es ist \tan x - x + C.

Was ist das Integral von tan² x von 0 bis π/4?
Es ist \left(1 - \frac{\pi}{4}\right) - 0 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.215.

Was ist das Integral von tan²(2x)?
Es ist \frac{1}{2}\tan(2x) - x + C.

Was ist das Integral von tan³ x?
Schreibe \tan^3 x = \tan x\sec^2 x - \tan x. Das Ergebnis ist \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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