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Integrale trigonometrischer Funktionen

Integral von sec³ x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von sec³ x ist ½(sec x tan x + ln|sec x + tan x|) + C. Der Kreisschluss bei der partiellen Integration, die vollständige Probe und die Bogenlänge.

Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C
Stammfunktion
\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
Methode
Partielle Integration mit u = \sec x, dv = \sec^2 x\,dx
Wichtige Identität
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
Von 0 bis π/4
\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148
Rekursionsformel
\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx
Auf dieser Seite
  1. Graph von sec³ x und die Fläche darunter
  2. Herleitung mit partieller Integration
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmtes Integral
  5. Anwendung: Integral von √(1 + x²) und Bogenlänge
  6. Die Rekursionsformel
  7. Häufige Fehler

Das Integral von \sec^3 x ist \dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C. Da sec x gleich 1/cos x ist, ist das zugleich das Integral von 1/cos³ x. Es ist das klassische Beispiel für eine partielle Integration, bei der das Integral wieder auftaucht und man danach auflöst.

\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C

Graph von sec³ x und die Fläche darunter

Fläche unter y = sec³ x von 0 bis π/4
Die schraffierte Fläche ist \frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148. Die Funktion wächst zur Asymptote bei x = \frac{\pi}{2} hin sehr schnell.

Herleitung mit partieller Integration

Nenne das Integral I = \int\sec^3 x\,dx.

  1. Zerlege \sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x und verwende die Regel der partiellen Integration mit u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x
  2. Wende \int u\,dv = uv - \int v\,du an: I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx
  3. Ersetze \tan^2 x durch \sec^2 x - 1: I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx
  4. Das ursprüngliche Integral I steht jetzt rechts. Addiere I auf beiden Seiten: 2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert
  5. Teile durch 2 und ergänze C.

Schritt 4 verwendet das Integral von sec x. Die Wahl dv = \sec^2 x\,dx funktioniert, weil \sec^2 x der Teil ist, den man leicht integrieren kann, nämlich zu \tan x. Der Leitfaden zur partiellen Integration zeigt weitere Beispiele für diesen Kreisschluss.

Probe durch Ableiten

Zuerst mit der Produktregel:

\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x

Ersetze \tan^2 x durch \sec^2 x - 1 und erhalte 2\sec^3 x - \sec x. Der Logarithmus-Summand ergibt abgeleitet \sec x. Also

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark

Bestimmtes Integral

Bei x = \frac{\pi}{4}: \sec = \sqrt{2}, \tan = 1. Bei x = 0: \sec = 1, \tan = 0 und \ln 1 = 0. Also

\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148

Anwendung: Integral von √(1 + x²) und Bogenlänge

Setze x = \tan\theta, dx = \sec^2\theta\,d\theta. Dann ist \sqrt{1 + x^2} = \sec\theta und

\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C

Die Bogenlänge der Parabel y = \frac{x^2}{2} von x = 0 bis x = 1 ist \int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx, also genau die schraffierte Fläche oben: etwa 1.148. Mehr dazu in der Lektion zu Bogenlänge und Mantelfläche.

Die Rekursionsformel

Dieselben Schritte mit \sec^n x liefern

\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx

Mit n = 3 ist das unser Ergebnis. Mit n = 5 führt sie \sec^5 x auf \sec^3 x zurück, das du jetzt kennst.

Häufige Fehler

  1. Die Potenzregel verwenden: \frac{\sec^4 x}{4}. Die Ableitung davon ist \sec^4 x\tan x, nicht \sec^3 x.
  2. u = \sec^2 x, dv = \sec x\,dx wählen. Dann ist v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert, und das neue Integral ist viel schwieriger.
  3. Vergessen, durch 2 zu teilen, nachdem du die I-Terme gesammelt hast.
  4. Den Logarithmus-Summanden verlieren. Das \int\sec x\,dx aus Schritt 3 fällt leicht unter den Tisch.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von sec³ x?
Es ist \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Warum kann ich bei sec³ x nicht die Potenzregel verwenden?
Die Potenzregel für \int u^3\,du verlangt, dass du = \sec x\tan x\,dx im Integral steht. Das ist nicht der Fall, also brauchst du partielle Integration.

Was ist das Integral von √(1 + x²)?
Mit x = \tan\theta wird es zu \int\sec^3\theta\,d\theta. Das Ergebnis ist \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C.

Was ist das Integral von sec³ x von 0 bis π/4?
Es ist \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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