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Potenzen, Wurzeln und rationale Funktionen

Integral von x/(x² + 1): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von x/(x² + 1) ist ½ ln(x² + 1) + C. Die Substitution Schritt für Schritt, warum kein Betrag nötig ist, und verwandte Integrale wie 1/(x² + 1).

Potenzen, Wurzeln und rationale Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Stammfunktion
\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Methode
Substitution mit u = x^2 + 1
Betrag
Nicht nötig, da x^2 + 1 > 0
Symmetrisches Intervall
\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0
Vergleich
\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von x/(x² + 1) und seiner Stammfunktion
  2. Die Substitution Schritt für Schritt
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmte Integrale
  5. Verwandte Integrale
  6. Häufige Fehler

Das Integral von \dfrac{x}{x^2 + 1} ist \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C. Es ist das Lehrbuchbeispiel für eine Substitution, die auf einen Logarithmus führt.

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

Graph von x/(x² + 1) und seiner Stammfunktion

Fläche unter y = x/(x² + 1) von 0 bis 2, mit der Stammfunktion y = ½ ln(x² + 1)
Die schraffierte Fläche ist \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805. Die Funktion ist ungerade und ihre Stammfunktion gerade: Die gestrichelte Kurve ist symmetrisch zur y-Achse und hat bei x = 0 ein Minimum.

Die Substitution Schritt für Schritt

  1. Erkenne, dass die Ableitung des Nenners, 2x, bis auf einen konstanten Faktor mit dem Zähler übereinstimmt.
  2. Setze u = x^2 + 1. Dann ist du = 2x\,dx, also x\,dx = \frac{1}{2}du.
  3. Schreibe um: \displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du.
  4. Integriere mit dem Integral von 1/x: \frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C.
  5. Rücksubstituieren: \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C.
  6. Da x^2 + 1 \ge 1 > 0 ist, fallen die Betragsstriche weg: \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.

Das allgemeine Muster ist \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C. Hier ist der Zähler \frac{1}{2}f'(x), daher der Faktor \frac{1}{2}.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark

Bestimmte Integrale

Beispiel 1. \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

Beispiel 2. \int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0. Der Integrand ist ungerade, also hebt die Fläche links die Fläche rechts auf.

Beispiel 3: Grenzen mitsubstituieren. Mit u = x^2 + 1 werden aus den Grenzen x = 0 und x = 2 die Grenzen u = 1 und u = 5:

\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5

Verwandte Integrale

Kleine Änderungen am Integranden ändern die Methode komplett:

Integral Methode Ergebnis
\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx u = x^2 + 1 \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C
\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx bekannte Formel \arctan x + C
\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx u = x^2 + 1 -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C
\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx u = x^2 + a^2 \frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C
\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx zuerst dividieren \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C

Für die letzte Zeile liefert die Polynomdivision \frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}.

Beispiel 4: den Zähler aufteilen.

\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C

Für den zweiten Teil brauchst du das Integral von 1/(1 + x²).

Häufige Fehler

  1. Das \frac{1}{2} vergessen. du = 2x\,dx, also ist x\,dx nur die Hälfte von du.
  2. \arctan x angeben. Das ist das Integral von \frac{1}{x^2 + 1}, ohne das x im Zähler.
  3. \ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert schreiben oder den Bruch als \frac{x}{x^2} + \frac{x}{1} aufteilen. Einen Bruch mit einer Summe im Nenner kann man nicht so zerlegen.
  4. \frac{x}{x^2 - 1} genauso integrieren und die Betragsstriche weglassen. Das ergibt \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C, und der Betrag ist hier wichtig.

Mehr Übung: Aufgaben zur Substitution.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von x/(x² + 1)?
Es ist \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C. Setze u = x^2 + 1, dann ist x\,dx = \frac{1}{2}du.

Was ist das Integral von 2x/(x² + 1)?
Es ist \ln(x^2 + 1) + C. Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners, also ist das Ergebnis der Logarithmus des Nenners.

Was ist das Integral von x/(x² + 1) von 0 bis 1?
Es ist \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

Konvergiert das Integral von x/(x² + 1) von 0 bis unendlich?
Nein. \frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty für b \to \infty, also divergiert das Integral. Für große x verhält sich der Integrand wie \frac{1}{x}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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