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Potenzen, Wurzeln und rationale Funktionen

Integral von 1/(x² - 1): Formel, Partialbrüche, Beispiele

Das Integral von 1/(x² - 1) ist ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt, die allgemeine Formel für 1/(x² - a²) und Beispiele.

Potenzen, Wurzeln und rationale Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Stammfunktion
\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Methode
Partialbruchzerlegung
Zerlegung
\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)
Allgemeine Form
\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C
Nicht definiert bei
x = \pm 1
Auf dieser Seite
  1. Graph von 1/(x² - 1)
  2. Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt
  3. Probe durch Ableiten
  4. Die allgemeine Formel: 1/(x² - a²)
  5. Rechenbeispiele
  6. Häufige Fehler

Das Integral von \dfrac{1}{x^2 - 1} ist \dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C. Es ist das einfachste Integral, für das man eine Partialbruchzerlegung braucht.

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C

Graph von 1/(x² - 1)

Graph von y = 1/(x² - 1) mit schraffierter Fläche von x = 2 bis x = 3
Die Funktion hat senkrechte Asymptoten bei x = -1 und x = 1. Die schraffierte Fläche ist \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203.

Zwischen den Asymptoten ist die Funktion negativ, mit einem Maximum von -1 bei x = 0. Außerhalb ist sie positiv und fällt gegen 0.

Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt

  1. Faktorisiere den Nenner: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
  2. Stelle den Ansatz auf: \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}.
  3. Multipliziere mit dem Nenner: 1 = A(x + 1) + B(x - 1).
  4. Setze x = 1 ein: 1 = 2A, also A = \frac{1}{2}. Setze x = -1 ein: 1 = -2B, also B = -\frac{1}{2}.
  5. Integriere jeden Teil mit dem Integral von 1/x:
\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C
  1. Fasse die Logarithmen zusammen: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

Der Leitfaden zur Partialbruchzerlegung behandelt auch mehrfache und quadratische Faktoren.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark

Die allgemeine Formel: 1/(x² - a²)

Dieselben Schritte mit (x - a)(x + a) liefern A = \frac{1}{2a}, B = -\frac{1}{2a}, also

\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C

Zum Beispiel ist \int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: bestimmtes Integral. Für die schraffierte Fläche:

\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203

Beispiel 2: uneigentliches Integral. Für x \to \infty gilt \frac{x - 1}{x + 1} \to 1, und der Logarithmus geht gegen 0:

\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549

Beispiel 3: zwischen den Asymptoten. \int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3. Negativ, wie der Graph es vorhersagt.

Beispiel 4: umgekehrtes Vorzeichen. \int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C.

Beispiel 5: zuerst substituieren. \int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx wird mit u = \sin x zu \int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C.

Häufige Fehler

  1. \arctan x angeben. Das gilt für x^2 + 1. Prüfe das Vorzeichen im Nenner.
  2. \ln\lvert x^2 - 1\rvert angeben. Der Zähler ist 1, nicht 2x, also passt das Muster \frac{f'}{f} nicht. Dieses Muster liefert stattdessen das Integral von x/(x² + 1).
  3. Das Vorzeichen von B falsch bestimmen. Setze zur Kontrolle Werte in die Zerlegung ein.
  4. Über x = \pm 1 hinweg integrieren. Diese Integrale sind uneigentlich und divergieren.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von 1/(x² - 1)?
Es ist \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C, zusammengefasst \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

Was ist das Integral von 1/(1 - x²)?
Es ist das Negative davon: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C. Für \lvert x\rvert < 1 ist das gleich \operatorname{artanh} x + C (Areatangens hyperbolicus).

Was ist das Integral von 1/(x² - a²)?
Es ist \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C, gefunden mit derselben Partialbruchzerlegung.

Warum kommt nicht arctan heraus?
\arctan x kommt von \frac{1}{x^2 + 1}, dessen Nenner sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren lässt. x^2 - 1 lässt sich faktorisieren, also übernehmen Partialbrüche und Logarithmen.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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