Ableitung mit der h-Methode: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Ableitung über den Differenzenquotienten beginnen mit einer Geraden und einer Parabel, gehen dann zu Potenzen, Brüchen und Wurzeln über und enden mit Tangenten und Grenzwerten, in denen du eine Ableitung wiedererkennst. Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste.

Die Definition, die du jedes Mal verwendest:

Wenn du nachlesen willst, woher sie kommt, lies den Leitfaden zur Grenzwertdefinition der Ableitung.

Aufgaben

Polynome

1. f(x) = 5x - 3
2. f(x) = x^2
3. f(x) = 3x^2 - 4x + 1
4. f(x) = x^3

Brüche und Wurzeln

5. f(x) = \dfrac{1}{x}
6. f(x) = \sqrt{x}
7. f(x) = \dfrac{1}{x + 2}
8. f(x) = \sqrt{2x + 1}

An einer Stelle und Tangenten

9. Bestimme mit der Definition f'(3) für f(x) = x^2 + 2x.
10. Bestimme die Tangente an f(x) = x^2 - 3x bei x = 1 und berechne die Steigung mit der Definition.

Die Ableitung erkennen

11. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}
12. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3. Ziehe f(x) ab:

Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, also ist f'(x) = 5.

2. Multipliziere (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 aus:

3. f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1. Nach dem Abziehen von f(x) bleiben nur die Terme mit h übrig:

4. Multipliziere (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 aus:

5. Bringe die Brüche auf den Hauptnenner x(x+h):

6. Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck \sqrt{x+h} + \sqrt{x}:

Für h\to 0 wird daraus \frac{1}{2\sqrt{x}}.

7. Dieselbe Idee wie in Aufgabe 5, mit dem Hauptnenner (x + h + 2)(x + 2):

8. Erweitere mit dem konjugierten Ausdruck. Der Zähler wird zu (2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h:

9. Verwende f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Hier ist f(3) = 15 und

10. Zuerst die Steigung bei x = 1. Es ist f(1) = -2 und f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2:

Die Tangente geht durch (1, -2) und hat die Steigung -1:

11. Das passt zu \frac{f(a + h) - f(a)}{h} mit f(x) = x^4 und a = 2, denn 2^4 = 16. Der Grenzwert ist also f'(2), und mit der Potenzregel liefert f'(x) = 4x^3 den Wert f'(2) = 32.

12. Das passt zu f(x) = \sin x an der Stelle a = \frac{\pi}{3}. Die Ableitung von \sin x ist \cos x, also ist der Grenzwert \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• f(x+h) als f(x) + h schreiben. In Aufgabe 2 ist (x+h)^2 gleich x^2 + 2xh + h^2, nicht x^2 + h.
• Beim Abziehen ein Vorzeichen verlieren. Setze f(x) in Klammern, bevor du abziehst, besonders in Aufgabe 3, wo es drei Terme hat.
• h\to 0 zu früh laufen lassen. Setzt du h = 0 vor dem Kürzen ein, erhältst du \frac{0}{0}. Kürze zuerst das h.
• Den Nenner nach dem Erweitern ausmultiplizieren. Lass in den Aufgaben 6 und 8 den Nenner als Produkt stehen. Nur der Zähler muss sich vereinfachen.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Grenzwertdefinition und die Lektion zu Tangenten. Sitzt die Definition, ist die Abkürzung die Potenzregel: Übe sie mit den Aufgaben zur Potenzregel.