Partialbruchzerlegung: Aufgaben mit Lösungen
12 Aufgaben zur Partialbruchzerlegung mit Lösungen: einfache und mehrfache Linearfaktoren, quadratische Faktoren ohne Nullstellen und Polynomdivision.
Integrationstechniken Aktualisiert 5 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Aufgaben
- 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen
- Niveau
- Analysis 2 und AP Calculus BC
- Du brauchst
- Faktorisieren, Polynomdivision und \int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Grundidee
- Einen schwierigen Bruch in mehrere einfache zerlegen und jeden einzeln integrieren
- Mit neuen Zahlen üben
- Lektion zur Partialbruchzerlegung
Auf dieser Seite
Diese Aufgaben zur Partialbruchzerlegung beginnen mit zwei verschiedenen Linearfaktoren und gehen dann zu mehrfachen Faktoren, quadratischen Faktoren ohne reelle Nullstellen, Polynomdivision und bestimmten Integralen über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.
Der Ansatz für jede Art von Faktor im Nenner:
| Faktor | Zugehörige Terme |
|---|---|
| (x - a) | \dfrac{A}{x - a} |
| (x - a)^2 | \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2} |
| x^2 + bx + c (keine reellen Nullstellen) | \dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c} |
Rechenbeispiele und die Begründung findest du im Leitfaden zur Partialbruchzerlegung.
Aufgaben
Verschiedene Linearfaktoren
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx
- \displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx
Mehrfache Faktoren
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx
Quadratische Faktoren ohne reelle Nullstellen
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx
Zuerst Polynomdivision
- \displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx
Bestimmte Integrale
- \displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx
- \displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx
Ergebnisse
| Aufgabe | Ergebnis |
|---|---|
| 1 | \ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 2 | \dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C |
| 3 | 2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C |
| 4 | 2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C |
| 5 | -\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 6 | 3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C |
| 7 | \ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C |
| 8 | \dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C |
| 9 | \dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C |
| 10 | \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C |
| 11 | \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027 |
| 12 | 2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754 |
Lösungen Schritt für Schritt
1. Setze \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} an, also 1 = A(x + 1) + Bx. Setze x = 0 ein: A = 1. Setze x = -1 ein: B = -1:
2. Faktorisiere: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Dann ist 1 = A(x + 2) + B(x - 2). Bei x = 2 ist A = \frac{1}{4}, bei x = -2 ist B = -\frac{1}{4}. Fasse die beiden Logarithmen zu einem zusammen.
3. 5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1). Bei x = -1: -6 = -3A, also A = 2. Bei x = 2: 9 = 3B, also B = 3.
4. Faktorisiere: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). Dann ist x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2). Bei x = 1: 6 = 3B, also B = 2. Bei x = -2: 3 = -3A, also A = -1.
5. Der Faktor x^2 ist mehrfach, also setze \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1} an. Dann ist 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2. Bei x = 0: B = 1. Bei x = -1: C = 1. Vergleich der x^2-Terme: A + C = 0, also A = -1:
6. Schreibe den Zähler mithilfe von x + 1: 3x + 5 = 3(x + 1) + 2. Der Bruch ist also \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}. Der zweite Term liefert mit der Potenzregel -\frac{2}{x + 1}.
7. Setze \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} an, also 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. Bei x = 0: A = 1. Vergleich bei x^2: A + B = 0, also B = -1. Vergleich bei x: C = 0. Der Term \frac{-x}{x^2 + 1} hat die Stammfunktion -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1).
8. Setze \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} an, also x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1). Bei x = -1: 1 = 2A, also A = \frac{1}{2}. Vergleich bei x^2: 1 = A + B, also B = \frac{1}{2}. Vergleich der Konstanten: 1 = A + C, also C = \frac{1}{2}. Dann:
Die drei Teile liefern einen Logarithmus, einen Logarithmus per Substitution und einen Arkustangens.
9. Der Zähler hat Grad 2 und der Nenner Grad 1, also dividiere: x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2. Der Integrand ist also x + 1 + \frac{2}{x - 1}.
10. Dividiere: x^3 = x(x^2 - 1) + x, der Integrand ist also x + \frac{x}{x^2 - 1}. Der zweite Term ist eine Substitution mit u = x^2 - 1 und liefert \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|.
11. Wie in Aufgabe 2 ist \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right):
12. \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}:
Typische Fehler bei diesen Aufgaben
- Die Polynomdivision auslassen. Zerlegst du in Aufgabe 9 den Bruch \frac{x^2 + 1}{x - 1} ohne vorherige Division, hat der Ansatz keine Lösung.
- Nur ein Term für einen mehrfachen Faktor. \frac{1}{x^2(x + 1)} braucht sowohl \frac{A}{x} als auch \frac{B}{x^2}.
- Eine Konstante über einem quadratischen Faktor. Ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen braucht Bx + C im Zähler, nicht nur B.
- \frac{1}{(x + 1)^2} als Logarithmus integrieren. Das ist eine Potenz: \int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}.
Weiter üben
Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Partialbruchzerlegung und die Lektion zu mehrfachen Faktoren. Sieh dir auch das Integral von 1/(x² − 1) an. Danach bringst du alle Methoden in der gemischten Übung zu Integrationstechniken zusammen.
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