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Integrationstechniken

Trigonometrische Substitution: Aufgaben mit Lösungen

12 Aufgaben zur trigonometrischen Substitution mit Ergebnissen und Lösungen für √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) und mit quadratischer Ergänzung.

Integrationstechniken Aktualisiert 4 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
Aufgaben
12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen
Niveau
Analysis 2
Du brauchst
Trigonometrische Integrale und den trigonometrischen Pythagoras
Grundidee
x so wählen, dass der Ausdruck unter der Wurzel zum Quadrat einer Winkelfunktion wird
Mit neuen Zahlen üben
Lektion zur trigonometrischen Substitution
Auf dieser Seite
  1. Aufgaben
  2. Ergebnisse
  3. Lösungen Schritt für Schritt
  4. Typische Fehler bei diesen Aufgaben
  5. Weiter üben

Diese Aufgaben zur trigonometrischen Substitution behandeln alle drei Standardformen, einige Fälle, die direkt auf eine Formel führen, bestimmte Integrale und die quadratische Ergänzung. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Substitution richtet sich nach der Form unter der Wurzel:

Ausdruck Substitution Verwendete Identität
\sqrt{a^2 - x^2} x = a\sin\theta 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta
\sqrt{a^2 + x^2} x = a\tan\theta 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
\sqrt{x^2 - a^2} x = a\sec\theta \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta

Aufgaben

Direkt mit Formel

  1. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx

Vollständige Substitutionen

  1. \displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  4. \displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx
  5. \displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx für x > 1

Bestimmte Integrale

  1. \displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx

Zuerst quadratisch ergänzen

  1. \displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx

Ergebnisse

Aufgabe Ergebnis
1 \arcsin\dfrac{x}{2} + C
2 \dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C
3 \ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C
4 \dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C
5 \dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C
6 -\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C
7 \dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C
8 \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C
9 \dfrac{\pi}{4}
10 \dfrac{\pi}{8}
11 \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C
12 \arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C

Lösungen Schritt für Schritt

1. Setze x = 2\sin\theta, also dx = 2\cos\theta\,d\theta und \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta. Das Integral wird zu \int d\theta = \theta:

\arcsin\frac{x}{2} + C

2. Setze x = 3\tan\theta, also dx = 3\sec^2\theta\,d\theta und 9 + x^2 = 9\sec^2\theta:

\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C

3. Setze x = 3\tan\theta, also \sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta, und das Integral wird zu \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|. Aus dem Dreieck folgt \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} und \tan\theta = \frac{x}{3}. Das entstehende \ln 3 geht in der Konstanten auf:

\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C

4. Setze x = \sin\theta, dann ist das Integral \int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}. Mit \sin\theta = x und \cos\theta = \sqrt{1 - x^2} erhältst du das Ergebnis aus der Tabelle. Siehe das Integral von √(1 − x²).

5. Setze x = 3\sin\theta. Dann ist x^2 = 9\sin^2\theta, dx = 3\cos\theta\,d\theta und \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C

Wegen \sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3} ergibt das \frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C.

6. Setze x = 2\sin\theta. Dann ist x^2 = 4\sin^2\theta und \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta:

\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C

Aus dem Dreieck folgt \cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}.

7. Setze x = 2\tan\theta. Dann ist (x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta und dx = 2\sec^2\theta\,d\theta:

\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C

Aus dem Dreieck folgt \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.

8. Setze x = \sec\theta, also dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta und \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C

Mit \tan\theta = \sqrt{x^2 - 1} und \theta = \operatorname{arcsec} x erhältst du das Ergebnis.

9. Verwende Aufgabe 4: \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}. Das ist ein Viertel des Einheitskreises.

10. Verwende \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}:

\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}

11. Quadratische Ergänzung: x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4. Mit u = x + 1 ist das \int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}.

12. Quadratische Ergänzung: 3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2. Mit u = x + 1 ist das \int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

  • Die falsche Substitution wählen. \sqrt{9 + x^2} braucht \tan, nicht \sin. Achte auf das Vorzeichenmuster in der Tabelle oben.
  • Vergessen, dx zu ersetzen. Mit x = 2\tan\theta ist dx = 2\sec^2\theta\,d\theta. Lässt du dx stehen, ist jeder weitere Schritt falsch.
  • Das Ergebnis in \theta stehen lassen. Ein unbestimmtes Integral in x braucht ein Ergebnis in x. Verwende das Dreieck.
  • Trigonometrisch substituieren, wo die einfache Substitution reicht. \int x\sqrt{4 - x^2}\,dx ist mit u = 4 - x^2 eine Zeile.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zur trigonometrischen Substitution und die Lektion zur Wahl der Methode. Rechenbeispiele findest du im Leitfaden zur trigonometrischen Substitution. Für gebrochenrationale Funktionen ohne Wurzeln geht es weiter mit den Aufgaben zur Partialbruchzerlegung.

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Trigonometrische Substitution

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Häufig gestellte Fragen

Wann verwendet man die trigonometrische Substitution?
Wenn du \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2} oder eine Potenz von a^2 + x^2 siehst und eine einfachere Substitution nicht funktioniert. Steht ein Faktor x außerhalb der Wurzel, wie bei \int x\sqrt{1 - x^2}\,dx, probiere zuerst die gewöhnliche Substitution.

Wie kommt man nach der trigonometrischen Substitution zurück zu x?
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Für x = 2\sin\theta beschriftest du die Gegenkathete mit x und die Hypotenuse mit 2. Die Ankathete ist dann \sqrt{4 - x^2}, und du kannst \cos\theta, \tan\theta oder jedes andere Verhältnis ablesen.

Was macht man mit einem quadratischen Term, der nicht in Standardform ist?
Führe zuerst eine quadratische Ergänzung durch. Zum Beispiel ist x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4, und das passt zu u^2 + a^2 mit u = x + 1 und a = 2. Die Aufgaben 11 und 12 zeigen das.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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