AP Calculus unidad 6: repaso de integración y acumulación (AB y BC)
Repaso de la unidad 6 de AP Calculus AB y BC: sumas de Riemann, Teorema Fundamental, funciones de acumulación, sustitución y técnicas de BC, con práctica.
Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 15–20%
- Peso en el examen BC
- 15–20%
- Ideas clave
- Sumas de Riemann, integrales definidas, el Teorema Fundamental, antiderivadas
- Solo BC
- Integración por partes, fracciones parciales con factores lineales, integrales impropias
- Va antes de
- La unidad 7, ecuaciones diferenciales, y la unidad 8, aplicaciones de la integral
- Practica aquí
- Cálculo 1: integrales
La unidad 6 de AP Calculus, integración y acumulación del cambio (Integration and Accumulation of Change), es donde empieza la segunda mitad del cálculo. Convierte tasas en cantidades: si sabes a qué velocidad cambia algo, una integral te dice cuánto ha cambiado en total. Es una de las dos unidades con más peso en el examen y la que alimenta más preguntas de respuesta libre.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 15–20% | 15–20% |
| Temas adicionales | ninguno | integración por partes, fracciones parciales, integrales impropias |
Qué cubre la unidad 6
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| Acumulación del cambio | El área bajo la gráfica de una tasa es el cambio de la cantidad | Área con signo |
| Sumas de Riemann | Sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio, con fórmulas y tablas | Sumas de Riemann |
| Sumas de trapecios | La media de las sumas por la izquierda y por la derecha | Sumas de trapecios |
| Integrales definidas | El límite de las sumas de Riemann y las propiedades de las integrales | Área con signo |
| Teorema Fundamental, parte 1 | Derivadas de funciones de acumulación | Funciones de acumulación |
| Teorema Fundamental, parte 2 | Calcular \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) | El Teorema Fundamental |
| Antiderivadas | Regla de la potencia inversa, integrales trigonométricas y exponenciales | Regla de la potencia inversa |
| Sustitución | Cambio de variable en integrales indefinidas y definidas | Sustitución |
| Integración por partes (BC) | \int u\,dv = uv - \int v\,du | Integración por partes |
| Fracciones parciales (BC) | Descomponer funciones racionales con factores lineales | Fracciones parciales |
| Integrales impropias (BC) | Integrales hasta el infinito y sobre asíntotas verticales | Límites infinitos |
Las ideas clave
Las sumas de Riemann estiman áreas. Divide [a, b] en partes, multiplica cada anchura por una altura y suma. En una función creciente, la suma por la izquierda se queda corta y la suma por la derecha se pasa. La suma de trapecios hace la media de las dos.
La integral definida es el cambio neto. Si r(t) es una tasa, \int_a^b r(t)\,dt es el cambio total de t = a a t = b. Esta idea está detrás de todas las preguntas de respuesta libre del tipo "lo que entra y lo que sale".
El Teorema Fundamental lo conecta todo. La parte 1 dice que una función de acumulación es una antiderivada:
La parte 2 dice que puedes calcular una integral definida con cualquier antiderivada F:
Lee más sobre el Teorema Fundamental del Cálculo, parte 1 y la parte 2.
Preguntas de ejemplo
1. Una tabla (sin calculadora). El caudal de agua r(t), en litros por minuto, se mide en t = 0, 2, 5 con valores 4, 6, 9. Una suma de trapecios estima el volumen total:
Fíjate en las anchuras desiguales. Las tablas de AP las tienen a menudo, así que nunca supongas que el espaciado es uniforme.
2. Una función de acumulación. Si g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt, por el Teorema Fundamental g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3. Nunca necesitas hallar la antiderivada.
3. Sustitución. Calcula \int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx con u = x^2 + 1, así que du = 2x\,dx y los límites pasan a ser 1 y 2:
4. BC: integración por partes. Con u = x y dv = \cos x\,dx:
Cómo estudiar la unidad 6
- Aprende a leer la integral con palabras. "El total de litros que entraron durante los 5 primeros minutos" es \int_0^5 r(t)\,dt. Las preguntas de respuesta libre piden explicar el significado de una integral en contexto, con unidades.
- Practica tablas con anchuras desiguales. Son el planteamiento más habitual de las sumas de Riemann y de trapecios en el examen.
- Deriva rápido las funciones de acumulación. Las preguntas sobre g(x) = \int_a^x f(t)\,dt vuelven al estilo de la unidad 5: dónde crece g, dónde tiene extremos o dónde es cóncava hacia arriba.
- Practica a fondo las antiderivadas. Usa la referencia de integrales y el formulario de cálculo hasta que las básicas te salgan solas.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de sumas de Riemann y los ejercicios de integración por sustitución, todos con soluciones completas.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
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