AP Calculus unité 1 : révision des limites et de la continuité

L'unité 1 d'AP Calculus, limites et continuité (Limits and Continuity), est la base de tout le cours. Une limite demande vers quelle valeur se dirige une fonction quand x se rapproche d'un nombre. Toutes les notions suivantes, de la dérivée à l'intégrale en passant par les séries, sont définies à l'aide d'une limite : une unité 1 solide rend donc tout le reste plus facile.

Ce que couvre l'unité 1

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

Les idées clés

Une limite concerne les valeurs voisines. La fonction f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} n'est pas définie en x = 3, mais pour tout autre x elle vaut x + 3. Donc quand x tend vers 3, f(x) tend vers 6. La courbe est une droite avec un trou.

Une limite n'existe que si les deux côtés concordent. Si la limite à gauche et la limite à droite sont différentes, la limite n'existe pas. C'est la raison la plus fréquente pour laquelle une limite n'existe pas à l'examen.

La continuité a trois conditions. f est continue en x = c quand f(c) est définie, que \lim_{x \to c} f(x) existe et que les deux sont égales. Dans les questions à réponse rédigée, citez les trois. Une discontinuité effaçable (un trou) se corrige en redéfinissant un seul point. Les sauts et les discontinuités infinies, non.

Les asymptotes sont des limites. Une asymptote verticale en x = a signifie que f(x) \to \pm\infty quand x \to a. Une asymptote horizontale y = L signifie que f(x) \to L quand x \to \pm\infty. Pour les fonctions rationnelles, comparez les degrés du numérateur et du dénominateur.

Le TVI exige la continuité. Si f est continue sur [a, b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors f(c) = k pour un certain c dans (a, b). Lisez l'énoncé complet sur la page du théorème des valeurs intermédiaires, et consultez le théorème des gendarmes et les opérations sur les limites.

Exemples de questions

1. Une limite de la forme \frac{0}{0} (sans calculatrice). La substitution directe donne \frac{0}{0}, donc factorisez :

2. Une limite à l'infini. Le numérateur et le dénominateur sont tous deux de degré 2, donc la limite est le quotient des coefficients dominants :

3. Rendre une fonction continue. Soit f(x) = kx + 1 pour x < 2 et f(x) = x^2 pour x \ge 2. La limite à gauche en 2 vaut 2k + 1 et la limite à droite vaut 4. Elles coïncident quand 2k + 1 = 4, donc k = \frac{3}{2}.

4. Le théorème des valeurs intermédiaires. Montrez que f(x) = x^3 + x - 1 a une racine dans (0, 1). La fonction est un polynôme, donc elle est continue sur [0, 1]. Comme f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0, le TVI garantit l'existence d'un c dans (0, 1) tel que f(c) = 0.

Comment réviser l'unité 1

• Essayez d'abord la substitution directe. Si elle donne un nombre, c'est terminé. Ne passez à l'algèbre que si vous obtenez \frac{0}{0}.
• Entraînez-vous à lire des limites sur des graphes. Regardez vers où se dirige la courbe de chaque côté, pas le point plein.
• Rédigez entièrement les justifications de continuité. Donnez la valeur de la fonction, la limite, et dites qu'elles sont égales. Les correcteurs cherchent les trois.
• Dites « continue » chaque fois que vous utilisez le TVI. Oublier la condition de continuité coûte un point dans les réponses rédigées.
• Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur le calcul de limites, les exercices sur les limites à l'infini et les exercices sur la continuité, tous avec solutions complètes. Le guide comment calculer une limite réunit toutes les méthodes au même endroit.

Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.

AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.