AP Calculus unité 2 : révision des bases de la dérivation
Révision de l'unité 2 d'AP Calculus AB et BC : dérivée par la définition, dérivabilité, dérivée d'une puissance, d'un produit, d'un quotient et trigonométrie.
Unités d'AP Calculus Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Poids à l'examen AB
- 10–15 %
- Poids à l'examen BC
- 5–10 %
- Idées clés
- La dérivée comme limite, la dérivabilité, les règles de dérivation de base
- BC uniquement
- Rien, AB et BC couvrent les mêmes notions dans l'unité 2
- Avant
- L'unité 3, la dérivation en chaîne, les fonctions implicites et réciproques
- S'entraîner ici
- Analyse 1 : la dérivée
Sur cette page
L'unité 2 d'AP Calculus, la dérivation : définition et propriétés fondamentales (Differentiation: Definition and Fundamental Properties), introduit la dérivée. Elle part d'une question : à quelle vitesse une grandeur varie-t-elle à un instant donné ? La réponse est une limite de taux de variation moyens, et à la fin de l'unité vous savez calculer la plupart des dérivées avec quelques règles rapides au lieu d'une limite.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Poids à l'examen | 10–15 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | aucune |
Ce que couvre l'unité 2
Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.
| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
|---|---|---|
| Taux moyen et instantané | Pentes des sécantes, et ce qui se passe quand l'intervalle rétrécit | Taux de variation instantané |
| Définir la dérivée | La définition par la limite et les notations f'(x), \frac{dy}{dx} | La définition par la limite |
| Estimer une dérivée | À partir de graphes et de tableaux de valeurs | Taux de variation moyen |
| Dérivabilité et continuité | Points anguleux, points de rebroussement, tangentes verticales et sauts | Dérivabilité |
| Règle de la puissance | \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} | Règle de la puissance |
| Somme, différence, constantes | Dériver terme à terme | Somme et constantes |
| \sin x, \cos x, e^x, \ln x | Les premières dérivées de fonctions non polynomiales | Dérivées trigonométriques |
| Règle du produit | (fg)' = f'g + fg' | Règle du produit |
| Règle du quotient | \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} | Règle du quotient |
| \tan x, \cot x, \sec x, \csc x | Obtenues avec la règle du quotient | Dérivées trigonométriques |
Les idées clés
La dérivée est la pente de la tangente. Le taux de variation moyen de f sur [x, x + h] est la pente d'une sécante. Quand h \to 0, la sécante devient la tangente :
La dérivée est aussi un taux. Si s(t) est une position, s'(t) est une vitesse. Si V(t) est un volume en litres et t est en minutes, V'(t) est en litres par minute. Les unités permettent de vérifier n'importe quelle réponse.
Dérivable signifie lisse. Si f est dérivable en c, elle est continue en c. La réciproque est fausse : |x| est continue en 0 mais a un point anguleux, donc les pentes à gauche et à droite (-1 et 1) ne concordent pas.
Les règles remplacent la limite. Travaillez la règle de la puissance, la règle du produit et la règle du quotient jusqu'à ce qu'elles deviennent automatiques. Apprenez ensuite par cœur les six dérivées trigonométriques, ainsi que \frac{d}{dx}e^x = e^x et \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Exemples de questions
1. Utiliser la définition par la limite. Pour f(x) = x^2 :
2. Estimer à partir d'un tableau. Une fonction vérifie f(1) = 5 et f(3) = 11. La meilleure estimation de f'(2) est le taux de variation moyen sur [1, 3] :
3. Règle du produit. \frac{d}{dx}\left(x^2 \sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x.
4. Règle du quotient. \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right) = \frac{x e^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}.
5. Reconnaître une dérivée. La limite \lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - 1}{h} est la dérivée de \ln x en x = e, car \ln e = 1. La réponse est \frac{1}{e}.
Comment réviser l'unité 2
- Repérez les dérivées cachées. Quand une limite a la forme \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, identifiez f et a, puis dérivez. Cela tombe à presque tous les examens.
- Donnez toujours les unités. « La dérivée vaut 3 » perd le point de contexte. « La température augmente de 3 degrés par minute à t = 2 » le gagne.
- Connaissez les cas de non-dérivabilité. Dessinez un point anguleux, un point de rebroussement, une tangente verticale et un saut jusqu'à savoir les repérer sur un graphe.
- Entraînez-vous sur les règles. Utilisez le catalogue des dérivées et le formulaire d'analyse pour vérifier votre travail.
- Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur la dérivée par la définition, les exercices sur la règle de la puissance et les exercices sur les règles du produit et du quotient, tous avec solutions complètes.
Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.
AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.
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