AP Calculus unidad 1: repaso de límites y continuidad (AB y BC)
Repaso de la unidad 1 de AP Calculus AB y BC: límites con gráficas, tablas y álgebra, teorema del sándwich, continuidad, asíntotas y TVI, con práctica.
Unidades de AP Calculus Actualizado 5 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 10–15%
- Peso en el examen BC
- 5–10%
- Ideas clave
- Límites, continuidad, asíntotas, el teorema del valor intermedio
- Solo BC
- Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 1
- Va antes de
- La unidad 2, la definición de derivada
- Practica aquí
- Cálculo 1: límites
La unidad 1 de AP Calculus, límites y continuidad (Limits and Continuity), es la base de todo el curso. Un límite pregunta hacia qué valor se dirige una función cuando x se acerca a un número. Todas las ideas posteriores, de la derivada a la integral y las series, se definen con un límite, así que una unidad 1 sólida facilita todo lo que viene después.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 10–15% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |
Qué cubre la unidad 1
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| Límites y notación | Qué significa \lim_{x \to c} f(x) = L, y los límites laterales | ¿Qué es un límite? |
| Límites a partir de gráficas y tablas | Leer un límite cuando no te dan la fórmula | ¿Qué es un límite? |
| Límites con álgebra | Sustitución directa y propiedades de los límites | Sustitución directa |
| Manipulación algebraica | Factorizar y racionalizar para resolver \frac{0}{0} | Factorizar 0/0 |
| Teorema del sándwich | Atrapar una función entre otras dos | Teorema del sándwich |
| Tipos de discontinuidad | Discontinuidades evitables, de salto e infinitas | Continuidad |
| Continuidad | En un punto, en un intervalo, y cómo evitar discontinuidades | Continuidad |
| Límites infinitos | Asíntotas verticales y comportamiento lateral | Límites laterales e infinitos |
| Límites al infinito | Asíntotas horizontales y comportamiento en los extremos | Límites al infinito |
| Teorema del valor intermedio | Demostrar que existe un valor o una raíz | Teorema del valor intermedio |
Las ideas clave
Un límite trata de los valores cercanos. La función f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} no está definida en x = 3, pero para cualquier otro x es igual a x + 3. Así que cuando x se acerca a 3, f(x) se acerca a 6. La gráfica es una recta con un agujero.
Un límite solo existe si los dos lados coinciden. Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, el límite no existe. Es la razón más común por la que un límite falla en el examen.
La continuidad tiene tres condiciones. f es continua en x = c cuando f(c) está definida, \lim_{x \to c} f(x) existe y los dos son iguales. En las preguntas de respuesta libre, enuncia las tres. Una discontinuidad evitable (un agujero) se arregla redefiniendo un punto. Las de salto y las infinitas, no.
Las asíntotas son límites. Una asíntota vertical en x = a significa que f(x) \to \pm\infty cuando x \to a. Una asíntota horizontal y = L significa que f(x) \to L cuando x \to \pm\infty. En las funciones racionales, compara los grados del numerador y del denominador.
El TVI necesita continuidad. Si f es continua en [a, b] y k está entre f(a) y f(b), entonces f(c) = k para algún c en (a, b). Lee el enunciado completo en la página del teorema del valor intermedio, y consulta el teorema del sándwich y las propiedades de los límites.
Preguntas de ejemplo
1. Un límite \frac{0}{0} (sin calculadora). La sustitución directa da \frac{0}{0}, así que factoriza:
2. Un límite al infinito. El numerador y el denominador tienen grado 2, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales:
3. Hacer continua una función. Sea f(x) = kx + 1 para x < 2 y f(x) = x^2 para x \ge 2. El límite por la izquierda en 2 es 2k + 1 y el límite por la derecha es 4. Coinciden cuando 2k + 1 = 4, así que k = \frac{3}{2}.
4. El teorema del valor intermedio. Demuestra que f(x) = x^3 + x - 1 tiene una raíz en (0, 1). La función es un polinomio, así que es continua en [0, 1]. Como f(0) = -1 < 0 y f(1) = 1 > 0, el TVI garantiza algún c en (0, 1) con f(c) = 0.
Cómo estudiar la unidad 1
- Prueba primero la sustitución directa. Si da un número, has terminado. Recurre al álgebra solo cuando obtengas \frac{0}{0}.
- Practica la lectura de límites en gráficas. Fíjate hacia dónde va la curva por cada lado, no en el punto relleno.
- Escribe completas las justificaciones de continuidad. Nombra el valor de la función, el límite y que son iguales. Los correctores buscan las tres cosas.
- Di "continua" cada vez que uses el TVI. Omitir la condición de continuidad cuesta un punto en la respuesta libre.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de cálculo de límites, los ejercicios de límites al infinito y los ejercicios de continuidad, todos con soluciones completas. La guía sobre cómo calcular límites reúne todos los métodos en un solo lugar.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
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