AP Calculus unité 6 : révision de l'intégration et de l'accumulation
Révision de l'unité 6 d'AP Calculus AB et BC : sommes de Riemann, théorème fondamental, fonctions d'accumulation, changement de variable et techniques BC.
Unités d'AP Calculus Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Poids à l'examen AB
- 15–20 %
- Poids à l'examen BC
- 15–20 %
- Idées clés
- Sommes de Riemann, intégrales définies, théorème fondamental, primitives
- BC uniquement
- Intégration par parties, éléments simples à facteurs du premier degré, intégrales impropres
- Avant
- L'unité 7, les équations différentielles, et l'unité 8, les applications de l'intégration
- S'entraîner ici
- Analyse 1 : intégrales
Sur cette page
L'unité 6 d'AP Calculus, intégration et accumulation (Integration and Accumulation of Change), marque le début de la seconde moitié de l'analyse. Elle transforme des taux en quantités : si vous savez à quelle vitesse une grandeur varie, une intégrale vous dit de combien elle a varié au total. C'est l'une des deux plus grosses unités de l'examen et celle qui alimente le plus de questions à réponse rédigée.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Poids à l'examen | 15–20 % | 15–20 % |
| Notions en plus | aucune | intégration par parties, éléments simples, intégrales impropres |
Ce que couvre l'unité 6
Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.
| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
|---|---|---|
| Accumulation d'une variation | L'aire sous le graphe d'un taux est la variation de la quantité | Aire algébrique |
| Sommes de Riemann | Sommes à gauche, à droite et du point milieu, à partir de formules et de tableaux | Sommes de Riemann |
| Méthode des trapèzes | Faire la moyenne des sommes à gauche et à droite | Méthode des trapèzes |
| Intégrales définies | La limite des sommes de Riemann, et les propriétés des intégrales | Aire algébrique |
| Théorème fondamental, partie 1 | Dérivées des fonctions d'accumulation | Fonctions d'accumulation |
| Théorème fondamental, partie 2 | Calculer \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) | Le théorème fondamental |
| Primitives | Règle de la puissance inversée, intégrales trigonométriques et exponentielles | Règle de la puissance inversée |
| Changement de variable | Changement de variable pour les primitives et les intégrales définies | Changement de variable |
| Intégration par parties (BC) | \int u\,dv = uv - \int v\,du | Intégration par parties |
| Éléments simples (BC) | Décomposer des fonctions rationnelles à facteurs du premier degré | Décomposition en éléments simples |
| Intégrales impropres (BC) | Intégrales jusqu'à l'infini et sur des asymptotes verticales | Bornes infinies |
Les idées clés
Les sommes de Riemann estiment une aire. Découpez [a, b] en morceaux, multipliez chaque largeur par une hauteur et additionnez. Pour une fonction croissante, la somme à gauche sous-estime et la somme à droite surestime. La somme des trapèzes fait la moyenne des deux.
L'intégrale définie est une variation nette. Si r(t) est un taux, alors \int_a^b r(t)\,dt est la variation totale de t = a à t = b. Cette idée est derrière chaque question à réponse rédigée du type « ce qui entre, ce qui sort ».
Le théorème fondamental relie tout. La partie 1 dit qu'une fonction d'accumulation est une primitive :
La partie 2 dit qu'on peut calculer une intégrale définie avec n'importe quelle primitive F :
Pour en savoir plus, lisez les pages sur le théorème fondamental de l'analyse, partie 1 et la partie 2.
Exemples de questions
1. Un tableau (sans calculatrice). Le débit d'eau r(t), en litres par minute, est mesuré en t = 0, 2, 5 avec les valeurs 4, 6, 9. Une somme des trapèzes estime le volume total écoulé :
Remarquez les largeurs inégales. Les tableaux de l'AP en ont souvent, donc ne supposez jamais un pas constant.
2. Une fonction d'accumulation. Si g(x) = \int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt, alors d'après le théorème fondamental g'(2) = \sqrt{8 + 1} = 3. Vous n'avez jamais besoin de trouver la primitive.
3. Changement de variable. Calculez \int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx avec u = x^2 + 1, donc du = 2x\,dx et les bornes deviennent 1 et 2 :
4. BC : intégration par parties. Avec u = x et dv = \cos x\,dx :
Comment réviser l'unité 6
- Apprenez à lire une intégrale avec des mots. « Le nombre total de litres entrés pendant les 5 premières minutes » s'écrit \int_0^5 r(t)\,dt. Les questions à réponse rédigée demandent d'expliquer le sens d'une intégrale en contexte, avec les unités.
- Entraînez-vous sur des tableaux à pas irréguliers. C'est la mise en situation la plus courante pour les sommes de Riemann et des trapèzes à l'examen.
- Dérivez vite les fonctions d'accumulation. Les questions sur g(x) = \int_a^x f(t)\,dt reviennent sous la forme de l'unité 5 : où g croît, admet des extremums ou est convexe.
- Entraînez-vous sur les primitives. Utilisez le catalogue des intégrales et le formulaire d'analyse jusqu'à ce que les primitives usuelles soient automatiques.
- Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur les sommes de Riemann et les exercices sur le changement de variable, tous avec solutions complètes.
Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.
AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.
Entraîne-toi maintenant
L'aire avec des rectangles
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon