practicecalculus
Se connecter Commencer gratuitement
Université de Montréal

MAT 1000 Analyse 1 UdeM : contenu, guide d'étude et exercices

Guide d'étude de MAT 1000 Analyse 1 à l'Université de Montréal : nombres réels, topologie de R, suites, séries, continuité et dérivabilité.

Université de Montréal Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

Code du cours
MAT 1000
Crédits
4 crédits
Offert
Été, automne et hiver, campus de Montréal
Contenu
Nombres réels et leurs propriétés, topologie de base de la droite réelle, suites et séries numériques, continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
Cours lié
MAT 1400 Calcul 1 (approche calculatoire des séries)
S'entraîner ici
Limites de Calcul 1 et suites et séries de Calcul 2
Sur cette page
  1. Ce que couvre MAT 1000
  2. Plan des notions de MAT 1000
  3. MAT 1000 face aux cours de calcul
  4. Exemples d'exercices au niveau de MAT 1000
  5. Comment réussir MAT 1000

MAT 1000 Analyse 1 est le cours qui fait passer les étudiants de l'Université de Montréal du calcul, centré sur les méthodes, à l'analyse, centrée sur les démonstrations. Il reprend des objets connus du cégep, comme les limites et la dérivée, et les fonde rigoureusement sur les propriétés des nombres réels. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour bâtir l'intuition qui facilite les preuves.

Ce que couvre MAT 1000

Selon la fiche officielle, le cours porte sur les nombres réels et leurs propriétés, puis sur la topologie de base de l'ensemble des réels. Il étudie ensuite les suites et les séries de nombres et se termine par la continuité et la dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle.

Par rapport à un parcours nord-américain, MAT 1000 reprend les limites, la continuité et la dérivée de Calcul 1 et les suites et séries de Calcul 2, au niveau d'un cours de real analysis où chaque énoncé est démontré.

Plan des notions de MAT 1000

Notion de MAT 1000 S'exercer Lire
Nombres réels, bornes, supremum Limites à l'infini Limites à l'infini
Limites de suites Suites et leurs limites Théorème des gendarmes
Séries numériques Séries et sommes partielles Critères de convergence
Séries de référence Séries géométriques Série géométrique
Séries alternées Séries alternées Critère des séries alternées
Limites de fonctions Qu'est-ce qu'une limite ? Qu'est-ce qu'une limite ?, règles sur les limites
Continuité Continuité Valeurs intermédiaires
Dérivabilité Quand la dérivée n'existe pas Définition de la dérivée
Accroissements finis Approximation et TAF Théorème des accroissements finis, Rolle

MAT 1000 face aux cours de calcul

Cours Approche Contenu
MAT 1000 Analyse 1 Démonstrations, une variable Réels, topologie, suites, séries, continuité, dérivabilité
MAT 1400 Calcul 1 Méthodes et calculs Séries, plusieurs variables, intégrales multiples
MAT 1410 Calcul 2 Méthodes et calculs Calcul vectoriel, équations différentielles

Pour la version calculatoire des séries et le passage à plusieurs variables, voir les guides de MAT 1400 et de MAT 1410.

Exemples d'exercices au niveau de MAT 1000

1. Limite d'une suite avec epsilon. Montrons que \frac{n}{n + 1} \to 1. On a \left| \frac{n}{n + 1} - 1 \right| = \frac{1}{n + 1}. Pour \varepsilon > 0, il suffit de prendre N > \frac{1}{\varepsilon} : pour tout n \geq N, \frac{1}{n + 1} < \varepsilon.

2. Une série télescopique.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n + 1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right) = 1

car la somme partielle vaut 1 - \frac{1}{N + 1}.

3. Continue mais non dérivable. La fonction f(x) = |x| est continue en 0, mais

\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1 \neq -1 = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h}

donc elle n'est pas dérivable en 0. Voir la fonction valeur absolue.

Comment réussir MAT 1000

  • Apprenez les définitions exactement. Chaque preuve commence par écrire la définition en jeu (limite, borne supérieure, ensemble ouvert).
  • Gardez l'intuition vivante. Avant de démontrer, vérifiez sur des exemples avec nos exercices sur les limites et les séries.
  • Cherchez des contre-exemples pour chaque hypothèse d'un théorème, comme |x| pour la dérivabilité.
  • Relisez vos preuves comme un correcteur : chaque inégalité doit être justifiée. Le formulaire aide pour les séries de référence.

Astuce : pour montrer qu'une suite croissante converge, il suffit de prouver qu'elle est majorée. C'est l'axiome de la borne supérieure à l'œuvre.

Entraîne-toi maintenant

Qu'est-ce qu'une limite ?

Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.

S'entraîner sur cette leçon

Questions fréquentes

Qu'est-ce que MAT 1000 Analyse 1 à l'Université de Montréal ?
C'est un cours de 4 crédits sur les fondements de l'analyse réelle : propriétés des nombres réels, topologie de base de la droite, suites et séries de nombres, puis continuité et dérivabilité des fonctions d'une variable.

Quelle est la différence entre MAT 1000 et MAT 1400 ?
Les deux cours abordent les suites et les séries. MAT 1400 Calcul 1 met l'accent sur les calculs et passe vite aux fonctions de plusieurs variables, alors que MAT 1000 Analyse 1 reste à une variable et démontre chaque résultat.

MAT 1000 est-il difficile ?
C'est souvent le premier cours où l'on doit rédiger des démonstrations complètes, ce qui demande un temps d'adaptation. La pratique régulière de petites preuves, comme montrer une limite avec epsilon, rend la suite beaucoup plus naturelle.

Comment se préparer à Analyse 1 ?
Arrivez avec une bonne intuition des limites, de la continuité et des séries. Les leçons de PracticeCalculus sur les limites, la continuité et les critères de convergence donnent cette intuition par des exercices courts.

Rédigé par l'équipe PracticeCalculus

Nous créons des leçons d'analyse interactives et rédigeons chaque page pour qu'elle soit claire et juste. Tu as repéré une erreur ? Dis-le-nous et nous la corrigerons.

Autres cours universitaires

UdeM MAT 1400 Calcul 2 et 3 Calcul 1 Guide d'étude de MAT 1400 Calcul 1 à l'Université de Montréal : suites et séries, dérivées partielles, gradient, intégrales multiples, avec exercices. UdeM MAT 1410 Calcul 3 et équations différentielles Calcul 2 Guide d'étude de MAT 1410 Calcul 2 à l'Université de Montréal : calcul vectoriel, Green-Riemann, Stokes, divergence et équations différentielles.