MAT194 Calcul différentiel et intégral I UdeS : guide et exercices

MAT194 Calcul différentiel et intégral I est un cours de mathématiques de l'Université de Sherbrooke, offert aux étudiants du baccalauréat en informatique et du baccalauréat en informatique et sciences de l'image. Il part des acquis du cégep, les rafraîchit, puis va vers deux sujets nouveaux : les équations différentielles ordinaires et le calcul différentiel à plusieurs variables. Ce guide relie chaque thème de la fiche officielle à des exercices interactifs.

Ce que couvre MAT194

D'après la fiche de cours officielle de l'Université de Sherbrooke, MAT194 est un cours de 3 crédits de 1er cycle de la Faculté des sciences, offert à l'automne 2026. La fiche ne mentionne pas de préalable. Ses cibles de formation sont de maîtriser les techniques du calcul différentiel appliquées aux fonctions d'une ou plusieurs variables, et d'appliquer les techniques de résolution des équations différentielles ordinaires.

Le contenu officiel se lit en trois blocs :

• Rappels : calcul différentiel, fonctions élémentaires, formule de Taylor.
• Équations différentielles ordinaires : classification, équations du premier ordre, équations linéaires.
• Fonctions de plusieurs variables : coordonnées curvilignes, représentations graphiques, dérivées partielles, gradient, différentielle, règle de chaîne, série de Taylor à plusieurs variables, extrémums, cols, contraintes.

Par rapport à une séquence nord-américaine, MAT194 combine des rappels de Calcul 1, la partie dérivées partielles de Calcul 3 et une introduction aux équations différentielles. Malgré son nom, il ne traite pas des intégrales multiples.

Plan des notions de MAT194

Les deux cours de calcul présentés ici

Voir aussi le guide de MAT221.

Exemples d'exercices au niveau de MAT194

1. Équation linéaire du premier ordre. Pour y' + y = 1 avec y(0) = 0, la solution est y(x) = 1 - e^{-x}.

2. Gradient. Pour f(x, y) = x^2 + 3xy, on a \nabla f = (2x + 3y,\ 3x), donc \nabla f(1, 1) = (5, 3).

3. Point col. Pour f(x, y) = x^2 - y^2, l'origine est un point critique avec D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = -4 < 0 : c'est un col.

Comment réussir MAT194

• Ne négligez pas les rappels. Les premières semaines vont vite : révisez les dérivées du cégep avant la rentrée.
• Classez chaque équation différentielle avant de la résoudre : séparable, linéaire du premier ordre ou linéaire d'ordre supérieur.
• Dessinez les courbes de niveau. Elles rendent le gradient et les cols beaucoup plus intuitifs.
• Pratiquez avec correction immédiate. Nos exercices couvrent les dérivées partielles et les extrémums.

Astuce : pour classer un point critique, calculez D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2. Si D < 0 c'est un col, si D > 0 le signe de f_{xx} dit s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.