MAT-1920 Laval : Mathématiques pour scientifiques, guide et exercices

MAT-1920 Mathématiques pour scientifiques est le cours de mathématiques que suivent la plupart des étudiants en biologie, biochimie, chimie et microbiologie à l'Université Laval. Il prolonge le calcul différentiel et intégral du cégep vers les fonctions de plusieurs variables et les équations différentielles, avec des exemples tirés des sciences de la vie et de la chimie. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs pour apprendre en pratiquant.

Ce que couvre MAT-1920

La fiche officielle décrit d'abord le langage élémentaire des modèles mathématiques. Le cœur du cours porte sur les fonctions de plusieurs variables : taux de changement (dérivées partielles, dérivées directionnelles, gradient), approximation, optimisation avec et sans contraintes, et ajustement de courbes. La seconde partie traite des équations différentielles utiles dans les quatre disciplines visées : premier et deuxième ordres, systèmes linéaires et non linéaires. Les applications sont variées, en particulier en chimie physique et en thermodynamique.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est la partie dérivation d'un Calcul 3, suivie d'une introduction aux équations différentielles orientée vers les modèles scientifiques.

Plan des notions de MAT-1920

MAT-1920 parmi les cours de Laval

Consultez le guide de MAT-1900 pour comparer les contenus, et celui de MAT-1910 si votre programme exige la suite.

Exemples d'exercices au niveau de MAT-1920

1. Gradient d'une fonction de deux variables. Pour f(x, y) = x^2 + 3xy, au point (1, 2) :

2. Optimisation sans contraintes. Pour f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y, on pose f_x = 2x - 4 = 0 et f_y = 2y + 6 = 0, d'où le point critique (2, -3). Comme f_{xx} = f_{yy} = 2 > 0 et f_{xy} = 0, c'est un minimum, de valeur f(2, -3) = -13.

3. Cinétique du premier ordre. Une concentration suit \dfrac{dC}{dt} = -kC avec C(0) = C_0. En séparant les variables :

La demi-vie vaut alors t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}.

Comment réussir MAT-1920

• Maîtrisez l'exponentielle et le logarithme. Ils reviennent dans presque toutes les équations différentielles du cours. La leçon Exponentielles et logarithmes est une bonne révision.
• Traduisez chaque problème en modèle. Écrivez la variable, ce qui la fait varier et l'équation, avant tout calcul. C'est l'esprit de la partie modélisation du cours.
• Pratiquez l'optimisation avec contraintes : la méthode de Lagrange devient mécanique après quelques exercices. Notre page d'exercices en propose avec des nombres toujours nouveaux.
• Gardez le formulaire sous la main et relisez les erreurs fréquentes en calcul, surtout les erreurs de signe.

Astuce : pour vérifier une solution d'équation différentielle, dérivez-la et remplacez-la dans l'équation. Si les deux côtés coïncident, la réponse est bonne.