MAT-1910 Laval : contenu, guide d'étude et exercices

MAT-1910 Mathématiques pour l'ingénierie II est le cours d'intégration et de calcul vectoriel des programmes de génie de l'Université Laval. Il suit MAT-1900 et donne les outils qu'utilisent ensuite l'électromagnétisme, la mécanique des fluides et le transfert de chaleur. Ce guide associe chaque notion du cours à des exercices interactifs, pour pratiquer chaque idée avec une correction immédiate.

Ce que couvre MAT-1910

D'après la fiche officielle, le cours commence par les intégrales simples, traitées à la fois par calcul formel et par méthodes numériques. Il passe ensuite aux intégrales multiples et aux coordonnées curvilignes, avec leurs applications. La deuxième partie est consacrée au calcul des champs de vecteurs : intégrales sur des courbes et des surfaces, circulation, travail et flux. Le cours se conclut avec les théorèmes de Stokes et de Gauss et leurs applications en physique.

Dans une séquence nord-américaine, ce contenu correspond à la seconde moitié d'un Calcul 3 (intégrales multiples et calcul vectoriel), précédée d'un retour sur l'intégration à une variable vue dans un Calcul 2.

Plan des notions de MAT-1910

MAT-1910 et les cours qui le précèdent

Si vous arrivez de MAT-1900, vous connaissez déjà le gradient et les dérivées partielles, qui reviennent dans les champs conservatifs. Si vous venez de MAT-1920, prévoyez une révision des vecteurs et du produit vectoriel.

Exemples d'exercices au niveau de MAT-1910

1. Intégrale double sur un rectangle. Calculer \iint_R xy\,dA avec R = [0, 2] \times [0, 3] :

2. Passage en coordonnées polaires. Aire du disque de rayon a, avec dA = r\,dr\,d\theta :

3. Travail d'un champ conservatif. Pour \vec{F} = \langle 2x, 2y \rangle = \nabla(x^2 + y^2), le travail de (0, 0) à (1, 2) ne dépend pas du chemin :

Comment réussir MAT-1910

• Dessinez toujours la région. La moitié des erreurs en intégrales multiples vient de bornes mal choisies. La leçon Régions générales entraîne précisément cette étape.
• Choisissez le bon système de coordonnées. Cercles et cylindres appellent les coordonnées polaires ou cylindriques, sphères les coordonnées sphériques. N'oubliez pas le jacobien (r ou \rho^2 \sin\varphi).
• Testez si le champ est conservatif avant de paramétrer une courbe : cela peut transformer un long calcul en une simple différence de potentiel. Voir la leçon sur les champs conservatifs.
• Pratiquez par petites doses avec les exercices et gardez le formulaire à portée de main pour les primitives usuelles.

Astuce : devant une intégrale de flux sur une surface fermée, pensez d'abord au théorème de Gauss. Intégrer la divergence sur le volume est souvent bien plus simple que paramétrer chaque face.