MAT-1100 Analyse I Laval : contenu, guide d'étude et exercices

MAT-1100 Analyse I est le premier cours d'analyse du baccalauréat en mathématiques de l'Université Laval. Après le calcul du cégep, centré sur les méthodes, il reprend les mêmes objets (limites, séries, continuité) et les justifie avec rigueur à partir des propriétés des nombres réels. Ce guide relie chaque notion du cours à des exercices interactifs, utiles pour développer l'intuition qui rend les démonstrations plus faciles.

Ce que couvre MAT-1100

Selon la fiche officielle, le cours s'ouvre sur les nombres réels : inégalités, supremum et infimum, rationnels et irrationnels, ensembles dénombrables. Il étudie ensuite les suites (limites, suites définies par récurrence, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy), puis les séries : convergence, critères pour les séries à termes positifs, critère de Cauchy, convergence absolue, séries alternées et séries entières. La dernière partie porte sur les fonctions d'une variable réelle : continuité, atteinte des bornes et théorème des valeurs intermédiaires.

Par rapport à un parcours nord-américain, MAT-1100 reprend les limites et la continuité de Calcul 1 et les suites et séries de Calcul 2, mais au niveau d'un cours de real analysis : chaque résultat est démontré.

Plan des notions de MAT-1100

MAT-1100 et Analyse II

Analyse II reprend donc le reste du calcul à une variable (dérivées et intégrales) avec la même rigueur. Pour la version appliquée de ces outils, voir les guides de MAT-1900 et de MAT-1910.

Exemples d'exercices au niveau de MAT-1100

1. Supremum d'un ensemble. Soit A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \geq 1 \right\}. Tous les éléments sont strictement inférieurs à 1, donc 1 est un majorant. Pour tout \varepsilon > 0, il existe n avec \frac{1}{n} < \varepsilon, donc 1 - \frac{1}{n} > 1 - \varepsilon : aucun nombre plus petit que 1 ne majore A. Ainsi \sup A = 1, qui n'est pas atteint.

2. Critère de d'Alembert. Pour \sum_{n \geq 1} \frac{n}{2^n} :

donc la série converge.

3. Valeurs intermédiaires. La fonction f(x) = x^3 + x - 1 est continue sur [0, 1], avec f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation x^3 + x - 1 = 0 a une solution dans ]0, 1[.

Comment réussir MAT-1100

• Apprenez les définitions par cœur, mot à mot. En analyse, une démonstration commence presque toujours par écrire la définition (limite, supremum, suite de Cauchy).
• Construisez l'intuition par le calcul. Avant de prouver qu'une série converge, entraînez-vous à le reconnaître rapidement avec la leçon Choisir un critère et notre page d'exercices.
• Cherchez des contre-exemples. Pour chaque théorème, demandez-vous ce qui se passe si on retire une hypothèse (par exemple la continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires).
• Gardez une fiche des séries de référence : géométriques, séries de Riemann \sum \frac{1}{n^p}, harmonique alternée. Le formulaire en regroupe l'essentiel.

Astuce : pour montrer qu'une suite est de Cauchy, il suffit souvent de majorer |u_{n+1} - u_n| par le terme d'une série géométrique convergente, puis de sommer.