Analyse 3 Université Paris Cité : programme, guide et exercices

Analyse 3 est une UE de semestre 3 de l'UFR de Mathématiques et informatique de l'Université Paris Cité. Elle reprend les bases du calcul infinitésimal, suites, séries et fonctions d'une variable, avec un objectif nouveau : savoir les démontrer proprement. Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, pour construire l'intuition qui rend les preuves plus faciles à écrire.

Ce que couvre Analyse 3

Selon la fiche officielle, ce module présente les bases du calcul infinitésimal à travers l'étude des suites et séries numériques et des fonctions d'une variable réelle. Il accorde une place importante à la manipulation des quantificateurs, à la rédaction de démonstrations et à la méthodologie sur des problèmes concrets, comme la détermination de la nature d'une série. Les objectifs affichés sont la maîtrise des théorèmes classiques d'analyse réelle et de leurs preuves, l'usage de la notion de limite et la rédaction d'exercices avec quantificateurs.

Dans une séquence nord-américaine, ce contenu correspond aux suites et séries de Calcul 2 et aux limites et à la continuité de Calcul 1, traités au niveau d'un cours de real analysis.

Plan des notions d'Analyse 3

Analyse 3 et Analyse 2

Les deux UE ne relèvent pas de la même composante. Si vous cherchez la partie calculatoire (dérivées, primitives, Taylor), voir le guide d'Analyse 2.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 3

1. Une limite rédigée avec quantificateurs. Montrons que u_n = \frac{2n + 1}{n} \to 2. On a |u_n - 2| = \frac{1}{n}. Soit \varepsilon > 0 ; posons N = \lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1. Alors pour tout n \geq N, |u_n - 2| \leq \frac{1}{N} < \varepsilon.

2. Nature d'une série par comparaison. Pour \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + 3}, on a 0 \leq \frac{1}{n^2 + 3} \leq \frac{1}{n^2} et la série de Riemann \sum \frac{1}{n^2} converge, donc la série converge.

3. Critère de d'Alembert. Pour \sum \frac{3^n}{n!} :

donc la série converge (sa somme vaut d'ailleurs e^3 - 1 si l'on commence à n = 1).

Comment réussir Analyse 3

• Rédigez beaucoup. Les 42 h de TD sont faites pour cela : écrivez chaque preuve en entier, avec les quantificateurs dans le bon ordre.
• Ayez une méthode fixe pour la nature d'une série : terme général, comparaison, d'Alembert, séries alternées. La leçon Choisir un critère et nos exercices entraînent ce réflexe.
• Gardez une liste de séries de référence (géométriques, Riemann, harmonique alternée). Le formulaire les rassemble.
• Méfiez-vous des fausses implications, comme croire qu'un terme général qui tend vers 0 suffit à la convergence. Voir les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : la série harmonique \sum \frac{1}{n} diverge alors que son terme général tend vers 0. Gardez-la en tête comme contre-exemple universel.