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Université Paris Cité

Analyse 2 Université Paris Cité : programme, guide et exercices

Guide d'étude de l'UE Analyse 2 de L1 à Paris Cité : Rolle, accroissements finis, primitives, développements limités, Taylor, équations différentielles.

Université Paris Cité Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

Intitulé
Analyse 2 (UFR de Mathématiques)
Niveau
Bac +1 (L1), semestre 2
Crédits
6 ECTS
Organisation
Sur les huit dernières semaines du semestre
Contenu
Dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis, fonctions usuelles et réciproques, primitives, intégration par parties et changement de variable, développements limités, formules de Taylor, équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2
S'entraîner ici
Calcul 1 et l'unité techniques d'intégration de Calcul 2
Sur cette page
  1. Ce que couvre Analyse 2
  2. Plan des notions d'Analyse 2
  3. Analyse 2 et la suite du parcours
  4. Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 2
  5. Comment réussir Analyse 2

Analyse 2 est l'UE d'analyse du second semestre de L1 proposée par l'UFR de Mathématiques de l'Université Paris Cité. Elle vise un objectif clair : savoir calculer avec aisance sur les fonctions d'une variable réelle, des dérivées aux développements limités. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs, pour s'entraîner avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse 2

D'après la fiche officielle de l'offre de formation, le cours se déroule sur les huit dernières semaines du semestre et porte sur le calcul élémentaire des fonctions de la variable réelle : dérivabilité, calcul de primitives et développements limités. Les objectifs détaillés sont les suivants :

  • maîtriser les théorèmes fondamentaux sur la dérivabilité, Rolle et les accroissements finis ;
  • connaître les fonctions usuelles et leurs réciproques (graphe, dérivée, développement limité en 0) ;
  • maîtriser le calcul intégral élémentaire : primitives, intégration par parties, changement de variable ;
  • calculer des développements limités à partir de ceux des fonctions usuelles ;
  • connaître les formules de Taylor (Taylor-Lagrange, Taylor-Young, reste intégral) et leurs usages ;
  • décrire les solutions des équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est le cœur d'un Calcul 1 (dérivées, théorème des accroissements finis, primitives) complété par des outils de Calcul 2 (techniques d'intégration, Taylor) et une introduction aux équations différentielles.

Plan des notions d'Analyse 2

Notion d'Analyse 2 S'exercer Lire
Dérivabilité Quand la dérivée n'existe pas Définition de la dérivée
Rolle et accroissements finis Approximation et TAF Théorème de Rolle, accroissements finis
Dérivées des fonctions usuelles Exponentielles et logarithmes Dérivées trigonométriques
Fonctions réciproques Dérivation implicite Dérivée d'une réciproque, arctangente
Primitives usuelles Primitive des puissances Primitives
Intégration par parties Intégration par parties Intégration par parties
Changement de variable Changement de variable Changement de variable
Formules de Taylor Polynômes de Taylor Théorème de Taylor
Développements limités usuels Séries de Maclaurin usuelles Séries de Taylor
Équations différentielles linéaires Équations séparables Fonction exponentielle naturelle

Analyse 2 et la suite du parcours

UE Niveau Orientation
Analyse 2 L1, semestre 2, 6 ECTS Calcul : dérivées, primitives, développements limités, Taylor
Analyse 3 Semestre 3, 9 ECTS Suites, séries numériques, fonctions d'une variable, rédaction de démonstrations

Analyse 2 privilégie les techniques de calcul ; l'UE Analyse 3, proposée au semestre 3 par l'UFR de mathématiques et informatique, insiste davantage sur les quantificateurs et la rédaction des preuves.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 2

1. Développement limité d'un produit. À l'ordre 3 en 0 :

e^x \sin x = \left(1 + x + \tfrac{x^2}{2}\right)\left(x - \tfrac{x^3}{6}\right) + o(x^3) = x + x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

2. Intégration par parties.

\int_0^1 x e^{x}\,dx = \left[ x e^{x} \right]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,dx = e - (e - 1) = 1

3. Équation linéaire d'ordre 2. Pour y'' + y = 0, l'équation caractéristique r^2 + 1 = 0 a pour racines \pm i, donc

y(x) = A\cos x + B\sin x, \qquad A, B \in \mathbb{R}

Comment réussir Analyse 2

  • Apprenez les développements limités usuels par cœur et entraînez-vous à les combiner. Le formulaire les rassemble sur une page.
  • Faites des exercices chaque semaine. Huit semaines passent vite : de courtes séances régulières sur notre page d'exercices valent mieux qu'un rattrapage la veille.
  • Choisissez bien u et v' dans une intégration par parties. La leçon Parties répétées et LIATE donne une méthode simple.
  • Vérifiez les hypothèses de Rolle et des accroissements finis (continuité sur le fermé, dérivabilité sur l'ouvert) avant de les appliquer. Voir aussi les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : pour calculer une limite de forme indéterminée en 0, un développement limité à l'ordre 2 ou 3 est souvent plus rapide et plus sûr que la règle de l'Hôpital.

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Questions fréquentes

Que couvre l'UE Analyse 2 à l'Université Paris Cité ?
Le calcul élémentaire des fonctions de la variable réelle : dérivabilité avec Rolle et les accroissements finis, fonctions usuelles et réciproques, primitives (intégration par parties, changement de variable), développements limités, formules de Taylor et équations différentielles linéaires d'ordre 1 et 2.

Combien de crédits vaut Analyse 2 ?
La fiche officielle indique 6 crédits ECTS, au semestre 2 de la première année (Bac +1).

Analyse 2 est-elle difficile ?
Le programme est dense et tient en huit semaines. La partie la plus technique est souvent le calcul de développements limités. Elle devient rapide quand on connaît par cœur les développements des fonctions usuelles et qu'on s'entraîne régulièrement.

Comment réviser les développements limités et Taylor ?
Apprenez les développements en 0 de e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x) et (1+x)^\alpha, puis entraînez-vous à les combiner par somme, produit et composition. Les leçons sur les polynômes de Taylor de PracticeCalculus donnent cette pratique.

Quelle est la différence entre Taylor-Lagrange et Taylor-Young ?
Taylor-Young donne un développement local avec un reste négligeable au voisinage du point, utile pour les limites. Taylor-Lagrange et Taylor avec reste intégral donnent une expression ou une majoration explicite du reste, utile pour les inégalités et les approximations chiffrées.

Rédigé par l'équipe PracticeCalculus

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