Dérivée de x² : formule, démonstration et exemples
La dérivée de x² est 2x. Démonstration par la limite, version composée pour u², courbe, tangentes et exemples corrigés comme (3x + 1)².
Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 2x pour tout réel x
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'
- Dérivée seconde
- \dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2
- Pente en x = 0
- 0, au sommet de la parabole
- Version intégrale
- \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
Sur cette page
La dérivée de x^2 est 2x. C'est en général la première dérivée que l'on calcule à la main, et elle montre toute l'idée de la dérivée en une ligne de calcul.
Courbe de x² et de sa dérivée
La dérivée augmente avec x, donc la parabole devient plus raide à mesure qu'on s'éloigne du sommet. C'est exactement l'allure d'une fonction convexe.
Démonstration par la définition avec une limite
On part de
On développe le carré : (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2. Les termes en x^2 se simplifient :
On peut aussi l'obtenir avec la règle de la puissance, ou avec la règle du produit appliquée à x \cdot x : 1\cdot x + x \cdot 1 = 2x.
La version composée : dérivée de u²
Quand on élève au carré autre chose que x, on utilise la règle de dérivation en chaîne :
| Fonction | Intérieur u | Dérivée 2u\,u' |
|---|---|---|
| (3x + 1)^2 | 3x + 1 | 6(3x + 1) |
| (x^2 + 5)^2 | x^2 + 5 | 4x(x^2 + 5) |
| \sin^2 x | \sin x | 2\sin x\cos x |
| (\ln x)^2 | \ln x | \frac{2\ln x}{x} |
La troisième ligne est détaillée sur la page dérivée de sin²x.
Exemples corrigés
Exemple 1 : un polynôme. Dérivons f(x) = 4x^2 - 3x + 8 :
Exemple 2 : une tangente. Cherchons la tangente à y = x^2 en x = 3. Le point est (3, 9) et la pente vaut 2(3) = 6 :
Exemple 3 : où la pente vaut-elle 5 ? On résout 2x = 5, ce qui donne x = \frac{5}{2}. Le point de la parabole est \left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right).
Exemple 4 : dérivée seconde. \frac{d}{dx}(2x) = 2, donc \frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2. Une dérivée seconde constante et positive signifie que la parabole est tournée vers le haut partout.
Erreurs fréquentes
- Écrire 2x^2. L'exposant doit diminuer de un : 2x^1 = 2x.
- Confondre x^2 et 2^x. Elles se ressemblent, mais 2^x est une exponentielle. Sa dérivée est 2^x \ln 2, voir la dérivée de 2ˣ.
- Oublier u'. \frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2), et non 2(5x - 2).
- Élever la dérivée au carré. \frac{d}{dx}(x^2) n'est pas \left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1.
Dans l'autre sens, \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C est traité sur la page intégrale de x². Entraînez-vous davantage avec les exercices sur la règle de la puissance.
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