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Puissances, racines et polynômes

Dérivée de 1/x² : formule, démonstration et exemples

La dérivée de 1/x² est -2/x³. Démonstrations par la puissance et le quotient, version composée pour 1/u², courbe et exemples comme 1/(3x - 2)².

Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}
Dérivée
-\dfrac{2}{x^3} pour x \ne 0
Sous forme de puissance
\dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}
Dérivée seconde
\dfrac{6}{x^4}
Version intégrale
\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
Sur cette page
  1. Courbe de 1/x² et de sa dérivée
  2. Démonstration par la règle de la puissance
  3. Démonstration par la règle du quotient
  4. Démonstration par la définition avec une limite
  5. La version composée : dérivée de 1/u²
  6. Autres exemples corrigés
  7. Comment la retenir
  8. Erreurs fréquentes

La dérivée de \dfrac{1}{x^2} est -\dfrac{2}{x^3}. Faites remonter la puissance sous la forme x^{-2}, et la règle de la puissance termine le travail en une étape.

\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x^2} = -\frac{2}{x^3}, \qquad x \ne 0

Courbe de 1/x² et de sa dérivée

Courbe de y = 1/x² et de sa dérivée y = -2/x³
À gauche, \frac{1}{x^2} monte vers l'asymptote, donc la dérivée est positive. À droite, elle descend, donc la dérivée est négative.

La courbe de \frac{1}{x^2} est symétrique par rapport à l'axe des y, donc ses pentes en x et en -x sont opposées. C'est pourquoi la dérivée est une fonction impaire.

Démonstration par la règle de la puissance

\frac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-2 - 1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}

C'est la règle de la puissance avec n = -2. La seule précaution concerne la soustraction : -2 - 1 = -3.

Démonstration par la règle du quotient

Avec 1 au numérateur et x^2 au dénominateur, la règle du quotient donne

\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}

Même réponse, plus de travail. Réécrire sous forme de puissance est le réflexe le plus rapide.

Démonstration par la définition avec une limite

\frac{\frac{1}{(x + h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x + h)^2}{h\,x^2(x + h)^2} = \frac{-2x - h}{x^2(x + h)^2}

Quand h \to 0, cela devient \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}.

La version composée : dérivée de 1/u²

\frac{d}{dx}\,u^{-2} = -2u^{-3}\cdot u' = -\frac{2u'}{u^3}

Exemple 1. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}.

Exemple 2. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}.

Exemple 3. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}. Comme \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x, cela correspond à la dérivée de sec²x, 2\sec^2 x\tan x.

Autres exemples corrigés

Exemple 4 : une loi physique. La gravitation et l'intensité lumineuse suivent F = \frac{k}{r^2}. Le taux de variation en fonction de la distance est \frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}. Doubler la distance divise la force par quatre et le taux de variation par huit.

Exemple 5 : dérivée seconde. \frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}. Elle est positive partout, donc les deux branches sont convexes.

Comment la retenir

Voyez \frac{1}{x^2} comme une puissance qui se trouve au dénominateur. Faites-la remonter sous la forme x^{-2}, appliquez la règle de la puissance comme pour n'importe quelle puissance, puis redescendez le résultat si vous voulez une fraction. Les trois mêmes étapes fonctionnent pour \frac{1}{x^3}, \frac{1}{x^{10}} ou \frac{1}{\sqrt{x}}. Une vérification rapide du signe aide aussi : pour x positif, la courbe descend, donc la dérivée doit y être négative, et -\frac{2}{x^3} l'est bien.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire -2x^{-1}. En descendant de un à partir de -2, on arrive à -3.
  2. Inverser la dérivée du dénominateur. \frac{1}{2x} n'est pas la dérivée de \frac{1}{x^2}.
  3. Perdre le signe moins. L'exposant -2 descend en coefficient négatif.

Dans l'autre sens, \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C est traité sur la page intégrale de 1/x². Comparez avec la dérivée de 1/x.

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La règle de la puissance

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de 1/x² ?
C'est -\frac{2}{x^3}. On écrit \frac{1}{x^2} = x^{-2} et on applique la règle de la puissance : -2x^{-3}.

Quelle est la dérivée de 3/x² ?
C'est 3 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{6}{x^3}.

Quelle est la dérivée de 1/(x + 1)² ?
Par la règle de dérivation en chaîne, -2(x + 1)^{-3} \cdot 1 = -\frac{2}{(x + 1)^3}.

La dérivée de 1/x² est-elle égale à 1/(2x) ?
Non. Dériver le dénominateur puis prendre l'inverse ne marche pas. La bonne réponse est -\frac{2}{x^3}.

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Autres dérivées

Dérivée de 1/x \frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2} La dérivée de 1/x est -1/x². Démonstration par la limite, règle de la puissance avec x⁻¹, version composée pour 1/u et exemples comme 1/(2x + 5). Dérivée de x² \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x La dérivée de x² est 2x. Démonstration par la limite, version composée pour u², courbe, tangentes et exemples corrigés comme (3x + 1)². Dérivée de √x \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} La dérivée de √x est 1/(2√x). Démonstrations par la puissance et la limite, version composée pour √u, le problème en x = 0 et exemples comme √(x² + 1).