Dérivée de xˣ : formule, démonstration et exemples
La dérivée de xˣ est xˣ(ln x + 1). Deux méthodes, la dérivation logarithmique et l'écriture e^(x ln x), avec une courbe et des exemples.
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Dérivée
- x^x(\ln x + 1) pour x > 0
- Réécriture clé
- x^x = e^{x\ln x}
- Méthode
- dérivation logarithmique
- Minimum
- x = \frac{1}{e}, valeur e^{-1/e} \approx 0.692
- Forme générale
- \dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)
Sur cette page
La dérivée de x^x est x^x(\ln x + 1). C'est l'exemple classique d'une fonction qui demande la dérivation logarithmique.
Pourquoi les règles habituelles échouent
| Fonction | Base | Exposant | Règle | Dérivée |
|---|---|---|---|---|
| x^3 | variable | constant | règle de la puissance | 3x^2 |
| 3^x | constante | variable | règle de l'exponentielle | 3^x\ln 3 |
| x^x | variable | variable | aucune des deux seule | x^x(\ln x + 1) |
Appliquer la règle de la puissance donne x\cdot x^{x-1} = x^x, et appliquer la règle de l'exponentielle donne x^x\ln x. Les deux sont fausses. Fait curieux, la bonne réponse est leur somme.
Méthode 1 : la dérivation logarithmique
Posons y = x^x. On prend le logarithme népérien des deux membres pour faire descendre l'exposant :
On dérive les deux membres. Le membre de gauche demande la dérivation implicite, et celui de droite la règle du produit (c'est la dérivée de x ln x) :
On multiplie par y = x^x :
Méthode 2 : réécrire en base e
Comme x = e^{\ln x}, on a x^x = e^{x\ln x}. On utilise alors la règle de dérivation en chaîne avec la fonction extérieure e^u :
Les deux méthodes reposent en fait sur la même idée. Utilisez celle qui vous semble la plus naturelle.
Courbe de xˣ et de sa dérivée
Comme x^x > 0, le signe de la dérivée ne dépend que de \ln x + 1. Il est négatif pour x < \frac{1}{e} et positif ensuite, donc le minimum est en x = \frac{1}{e}. Sa valeur est \left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692.
Exemples corrigés
Exemple 1 : la pente en x = 2. \frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77.
Exemple 2 : x puissance sin x. Posons y = x^{\sin x}. Alors \ln y = \sin x\ln x, et
Exemple 3 : x puissance 1/x. Posons y = x^{1/x}. Alors \ln y = \frac{\ln x}{x}, et la règle du quotient donne
Elle s'annule en x = e, donc x^{1/x} est maximale en x = e, avec la valeur e^{1/e} \approx 1.445.
Exemple 4 : x puissance x au carré. Pour y = x^{x^2}, \ln y = x^2\ln x, donc y' = x^{x^2}(2x\ln x + x).
Erreurs fréquentes
- Règle de la puissance : x\cdot x^{x-1} = x^x. Faux, car l'exposant n'est pas constant.
- Règle de l'exponentielle : x^x\ln x. Faux, car la base n'est pas constante.
- Oublier de multiplier par y à la fin de la dérivation logarithmique, et ne garder que \ln x + 1.
Pour en savoir plus sur cette méthode, voir les exercices de dérivation implicite et la dérivée de 2ˣ et de aˣ.
Entraîne-toi maintenant
Dérivation implicite
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon