practicecalculus
Commencer
practicecalculus
Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Dérivée de arccos x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de arccos x est −1/√(1 − x²). Démonstration, lien avec la dérivée de arcsin, exemples de dérivation en chaîne et courbe.

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
Dérivée
-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} pour -1 < x < 1
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Domaine de définition de arccos x
[-1, 1]
Ensemble image de arccos x
[0, \pi]
Identité clé
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
Sur cette page
  1. Courbe de arccos x et de sa dérivée
  2. Démonstration de la dérivée de arccos x
  3. Une démonstration plus rapide avec arcsin
  4. Version composée : dérivée de arccos(u)
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

La dérivée de \arccos x est -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Elle ressemble exactement à la dérivée de arcsin x avec un signe moins devant, et il y a une jolie raison à cela.

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1

Courbe de arccos x et de sa dérivée

Courbe de y = arccos x et de sa dérivée
La fonction arccosinus descend de \pi à 0. Sa pente vaut -1 en x = 0 et devient très forte près de x = \pm 1.

Démonstration de la dérivée de arccos x

Posons y = \arccos x, donc \cos y = x avec 0 \le y \le \pi. Utilisons la dérivation implicite :

-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}

Sur [0, \pi], le sinus n'est jamais négatif, donc \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. On obtient

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Une démonstration plus rapide avec arcsin

Pour tout x de [-1, 1],

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Pensez à un triangle rectangle : si un angle aigu a pour sinus x, l'autre a pour cosinus x, et les deux angles ont pour somme \frac{\pi}{2}. Dérivons les deux membres. Le membre de droite est une constante, donc sa dérivée vaut 0 :

\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0

La dérivée de arccos est donc celle de arcsin avec le signe changé. C'est un bon moyen de la retenir.

Version composée : dérivée de arccos(u)

\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Fonction Intérieur u Dérivée
\arccos(3x) 3x -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}
\arccos(x^2) x^2 -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
\arccos(\sqrt{x}) \sqrt{x} -\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}
\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right) \frac{x}{2} -\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}

Exemples corrigés

Exemple 1 : règle du produit. Pour f(x) = x^2\arccos x, la règle du produit donne

f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}

Exemple 2 : la pente en un point. En x = \frac{\sqrt{3}}{2}, la pente de \arccos x vaut

-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2

Exemple 3 : une tangente. En x = 0, la courbe passe par \left(0, \frac{\pi}{2}\right) avec une pente de -1, donc la tangente est y = \frac{\pi}{2} - x.

Erreurs fréquentes

  1. Oublier le signe moins. C'est la seule différence avec arcsin, et la chose la plus facile à perdre.
  2. Croire que \cos^{-1} x = \sec x. L'inverse du cosinus est la sécante. \cos^{-1} désigne la fonction réciproque.
  3. Oublier u'. \frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}, et non -\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}.
  4. L'utiliser en x = \pm 1. La tangente y est verticale, donc il n'y a pas de dérivée.

On intègre rarement -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} sous forme d'arccosinus, puisque -\arcsin x + C donne la même famille de réponses. Consultez la page de la fonction arccosinus pour sa courbe et son ensemble image, et entraînez-vous avec les exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

Entraîne-toi maintenant

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.

S'entraîner sur cette leçon

Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de arccos x ?
La dérivée de \arccos x (aussi notée \cos^{-1} x) est -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} pour -1 < x < 1.

Pourquoi la dérivée de arccos x est-elle négative ?
Parce que \arccos x descend de \pi à 0 quand x va de -1 à 1. Une fonction décroissante a une dérivée négative.

Quelle est la dérivée de arccos(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}, valable pour -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.

Quelle est la dérivée de arcsin x + arccos x ?
C'est 0. Les deux dérivées se compensent, ce qui correspond à l'identité \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, une constante.

Rédigé par l'équipe PracticeCalculus

Nous créons des leçons d'analyse interactives et rédigeons chaque page pour qu'elle soit claire et juste. Tu as repéré une erreur ? Dis-le-nous et nous la corrigerons.

Autres dérivées

Dérivée de arcsin x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La dérivée de arcsin x est 1/√(1 − x²). Démonstration à partir de sin y = x, version composée pour arcsin(u), courbe et exemples corrigés. Dérivée de arctan x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} La dérivée de arctan x est 1/(1 + x²). Démonstration à partir de tan y = x, exemples composés comme arctan(2x) et arctan(x²), et courbe. Dérivée de arccot x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} La dérivée de arccot x est −1/(1 + x²). Démonstration à partir de cot y = x, lien avec arctan, exemples de dérivation en chaîne et courbe.