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Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Dérivée de arcsin x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de arcsin x est 1/√(1 − x²). Démonstration à partir de sin y = x, version composée pour arcsin(u), courbe et exemples corrigés.

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
Dérivée
\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} pour -1 < x < 1
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\arcsin u = \dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Domaine de définition de arcsin x
[-1, 1]
Ensemble image de arcsin x
\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Version intégrale
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = \arcsin x + C
Sur cette page
  1. Courbe de arcsin x et de sa dérivée
  2. Démonstration de la dérivée de arcsin x
  3. Version composée : dérivée de arcsin(u)
  4. Exemples corrigés
  5. Erreurs fréquentes

La dérivée de \arcsin x est \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Elle est valable sur l'intervalle ouvert -1 < x < 1, où la fonction arcsinus est dérivable.

\frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1

Courbe de arcsin x et de sa dérivée

Courbe de y = arcsin x et de sa dérivée
La pente de \arcsin x est minimale en x = 0, où elle vaut 1, et grandit sans limite près de x = \pm 1.

La dérivée n'est jamais négative, donc \arcsin x monte toujours. Sa pente minimale vaut 1 à l'origine, et la courbe devient verticale aux extrémités (\pm 1, \pm\frac{\pi}{2}).

Démonstration de la dérivée de arcsin x

Posons y = \arcsin x. Alors \sin y = x avec -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}. On dérive les deux membres par dérivation implicite :

\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}

Exprimons maintenant \cos y en fonction de x. De \sin^2 y + \cos^2 y = 1, on tire \cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}. Sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], le cosinus n'est jamais négatif, donc on prend la racine positive :

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

La même idée fonctionne pour toute fonction réciproque, voir la dérivée de la fonction réciproque.

Version composée : dérivée de arcsin(u)

Avec la règle de dérivation en chaîne, on place la dérivée de l'intérieur au numérateur :

\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Fonction Intérieur u Dérivée
\arcsin(2x) 2x \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}
\arcsin(x^2) x^2 \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right), a > 0 \frac{x}{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}
\arcsin(e^x) e^x \frac{e^x}{\sqrt{1 - e^{2x}}}

La troisième ligne mérite d'être retenue. C'est elle qui explique \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un produit. Dérivons f(x) = x\arcsin x avec la règle du produit :

f'(x) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

Exemple 2 : la pente en un point. La pente de y = \arcsin x en x = \frac{1}{2} vaut

\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155

Exemple 3 : une puissance de arcsin. Pour g(x) = (\arcsin x)^2, la fonction extérieure est un carré :

g'(x) = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}

Erreurs fréquentes

  1. Lire \sin^{-1} x comme \frac{1}{\sin x}. Le -1 désigne la fonction réciproque, pas l'inverse.
  2. Oublier la dérivée de l'intérieur. \frac{d}{dx}\arcsin(3x) vaut \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}, et non \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}.
  3. N'élever que x au carré dans la dérivation en chaîne. Sous la racine, il faut 1 - u^2, donc \arcsin(x^2) donne \sqrt{1 - x^4}, et non \sqrt{1 - x^2}.
  4. Se tromper de signe avec arccos. La dérivée de arccos x est la même expression avec un signe moins.

Dans l'autre sens, l'intégrale de 1/√(1 − x²) vaut \arcsin x + C, et l'intégrale de arcsin x se calcule par intégration par parties. Entraînez-vous avec les exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques ou lisez la page de la fonction arcsinus.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de arcsin x ?
La dérivée de \arcsin x (aussi notée \sin^{-1} x) est \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} pour -1 < x < 1.

Quelle est la dérivée de arcsin(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est \frac{2}{\sqrt{1 - (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}, valable pour -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.

La dérivée de arcsin x est-elle définie en x = 1 ?
Non. En x = \pm 1, le dénominateur \sqrt{1 - x^2} s'annule et la courbe de \arcsin x a une tangente verticale, donc la dérivée n'existe pas en ces points.

sin⁻¹ x est-il égal à 1/sin x ?
Non. \sin^{-1} x désigne la fonction réciproque \arcsin x. L'inverse \frac{1}{\sin x} est \csc x, dont la dérivée est -\csc x\cot x.

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