Arc cosinus arccos(x) : courbe, domaine, dérivée et primitive

La fonction arc cosinus défait le cosinus : \arccos x est l'angle de [0, \pi] dont le cosinus vaut x. Elle n'est définie que pour -1 \le x \le 1, et elle est étroitement liée à l'arc sinus : leur somme vaut toujours \frac{\pi}{2}.

Définition de arccos x

Par exemple, \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}, car \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} et \frac{2\pi}{3} appartient à [0, \pi]. On utilise l'intervalle [0, \pi] parce que le cosinus y est bijectif et atteint chaque valeur de [-1, 1].

Courbe de y = arccos x

Contrairement à l'arc sinus, l'arc cosinus est décroissant, et il n'est ni pair ni impair. Sa courbe est symétrique par rapport au point \left(0, \frac{\pi}{2}\right), ce qui traduit l'identité \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Valeurs remarquables de l'arc cosinus

Propriétés de l'arc cosinus

• Domaine de définition [-1, 1], ensemble image [0, \pi].
• Décroissante sur tout son domaine de définition.
• Simplification. \cos(\arccos x) = x pour x dans [-1, 1] ; \arccos(\cos x) = x seulement pour x dans [0, \pi].
• Identité complémentaire. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} pour tout x de [-1, 1].
• Symétrie. \arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Dérivée de arccos x

Pourquoi. Posons y = \arccos x, donc \cos y = x. En dérivant implicitement, -\sin y\cdot y' = 1, donc y' = -\frac{1}{\sin y}. Sur [0, \pi], on a \sin y \ge 0, donc \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}.

Une méthode plus rapide : dériver \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x. La constante disparaît et le signe change.

Primitive de arccos x

On utilise une intégration par parties avec u = \arccos x et dv = dx, donc du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} et v = x :

Vérification : la dérivée de -\sqrt{1-x^2} est \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, qui compense le terme -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} issu de la règle du produit appliquée à x\arccos x ; il reste \arccos x.

En pratique, on a rarement besoin d'une primitive « en arccos » pour -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, car -\arcsin x + C convient tout aussi bien. Les deux réponses diffèrent de la constante \frac{\pi}{2}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : dérivation en chaîne. Dérivons f(x) = \arccos(x^2) :

Exemple 2 : calcul d'une valeur. \arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right). Comme \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}, le résultat est \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}, et non \frac{5\pi}{3}.

Exemple 3 : composition. Simplifions \sin(\arccos x). Avec \theta = \arccos x dans [0, \pi], on a \sin\theta \ge 0, donc \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}.

Exemple 4 : une tangente. En x = 0, \arccos 0 = \frac{\pi}{2} et la pente vaut -\frac{1}{\sqrt{1}} = -1. La tangente a pour équation y = \frac{\pi}{2} - x.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser l'ensemble image de l'arc sinus. \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}, qui appartient à [0, \pi], et non -\frac{\pi}{4}.
2. Oublier le signe moins dans la dérivée. La dérivée de l'arc sinus est positive ; celle de l'arc cosinus est négative.
3. Confondre \cos^{-1}x avec \sec x. L'inverse \frac{1}{\cos x} est la sécante (voir sécante, cosécante et cotangente).
4. Croire que \arccos(\cos x) = x dans tous les cas. Ce n'est vrai que pour x dans [0, \pi].

Liens entre l'arc cosinus et d'autres notions

L'arc cosinus donne l'angle entre deux vecteurs, \theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}, c'est pourquoi on le retrouve avec le produit scalaire. Sa dérivée est le reflet de celle de l'arc sinus, et la troisième fonction trigonométrique réciproque dont on a besoin pour intégrer est l'arc tangente.