Sécante, cosécante et cotangente : courbes, dérivées, primitives
Les fonctions trigonométriques sec x, csc x et cot x : définitions, courbes, asymptotes, leurs trois dérivées et primitives, avec des exemples corrigés.
Fonctions trigonométriques Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Domaine de sec x
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Ensemble image de sec x
- (-\infty, -1] \cup [1, \infty)
- Dérivée
- \sec x \tan x
- Primitive
- \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
- Périodes
- \sec et \csc : 2\pi ; \cot : \pi
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Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont les inverses des fonctions trigonométriques de base : \sec x = \frac{1}{\cos x}, \csc x = \frac{1}{\sin x} et \cot x = \frac{1}{\tan x}. En France, on les note aussi cosec et cotan. Elles apparaissent sans cesse dans les formules de dérivées et de primitives : même si vous les tracez rarement, vous devez connaître leurs propriétés en analyse.
Définitions
Un moyen mnémotechnique pour les associer : chaque fonction et sa partenaire ont exactement un « co » entre elles. La sécante va avec le cosinus, la cosécante va avec le sinus.
| Fonction | Inverse de | Non définie en | Période | Ensemble image |
|---|---|---|---|---|
| \sec x | \cos x | x = \frac{\pi}{2} + k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \csc x | \sin x | x = k\pi | 2\pi | \lvert y\rvert \ge 1 |
| \cot x | \tan x | x = k\pi | \pi | tous les réels |
Courbes de la sécante et de la cosécante
La sécante n'est jamais strictement comprise entre -1 et 1 : diviser 1 par un nombre de [-1, 1] donne toujours un résultat de valeur absolue au moins 1. La courbe de la cosécante a la même forme, décalée de \frac{\pi}{2} vers la droite, avec des asymptotes aux multiples de \pi.
Dérivées de sec, csc et cot
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \sec x | \sec x\tan x |
| \csc x | -\csc x\cot x |
| \cot x | -\csc^2 x |
Pourquoi (\sec x)' = \sec x\tan x. On écrit \sec x = (\cos x)^{-1} et on applique la règle de dérivation en chaîne :
Les mêmes étapes avec \sin x donnent (\csc x)' = -\csc x\cot x, et la règle du quotient appliquée à \frac{\cos x}{\sin x} donne (\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
Primitives de sec, csc et cot
| Fonction | Primitive |
|---|---|
| \sec x | \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C |
| \csc x | -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C |
| \cot x | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| \sec^2 x | \tan x + C |
| \csc^2 x | -\cot x + C |
| \sec x\tan x | \sec x + C |
| \csc x\cot x | -\csc x + C |
La primitive de la sécante. On multiplie le numérateur et le dénominateur par \sec x + \tan x :
Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur, donc avec u = \sec x + \tan x l'intégrale vaut \int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C.
La primitive de la cotangente. Avec u = \sin x, \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C.
Exemples corrigés
Exemple 1. Dériver f(x) = \sec(2x). Par la règle de dérivation en chaîne, f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x).
Exemple 2. Dériver g(x) = x\cot x. Par la règle du produit, g'(x) = \cot x - x\csc^2 x.
Exemple 3. Calculer \int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx. Une primitive est \sec x, donc le résultat est \sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1.
Exemple 4. Calculer \int \csc^2(5x)\,dx. Avec u = 5x, on obtient -\frac{1}{5}\cot(5x) + C.
Erreurs fréquentes
- Confondre inverse et réciproque. \sec x = \frac{1}{\cos x}, mais \cos^{-1}x désigne l'arc cosinus.
- Associer la sécante au sinus. La sécante est l'inverse du cosinus, et la cosécante l'inverse du sinus.
- Perdre les signes moins. Les dérivées de \csc x et de \cot x sont toutes deux négatives.
- Croire que \int\sec x\,dx = \sec x\tan x. C'est la dérivée, pas la primitive.
Où vous les utiliserez
Les identités 1 + \tan^2 x = \sec^2 x et 1 + \cot^2 x = \csc^2 x sont au cœur du changement de variable trigonométrique, où \sqrt{1 + x^2} devient \sec\theta. La sécante apparaît aussi dans la dérivée de la tangente, (\tan x)' = \sec^2 x. Pour un récapitulatif des six dérivées trigonométriques, voir les dérivées des fonctions trigonométriques.
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