Fonction cosinus cos(x) : courbe, dérivée, primitive et propriétés

La fonction cosinus prend un angle x, mesuré en radians, et renvoie la coordonnée x, c'est-à-dire l'abscisse, du point associé à cet angle sur le cercle trigonométrique. Sa courbe est la même onde que celle du sinus, décalée vers la gauche d'un quart de période : elle commence donc à son sommet et non à zéro.

Définition de cos x

Parcourez une distance x dans le sens trigonométrique sur le cercle trigonométrique, en partant de (1, 0). Le point atteint est (\cos x, \sin x), donc

Pour un angle aigu dans un triangle rectangle, c'est le rapport \cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}.

Courbe de y = cos x

Valeurs remarquables du cosinus

Remarquez que cette ligne est celle du sinus lue à l'envers sur \left[0, \frac{\pi}{2}\right], car \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right).

Propriétés de la fonction cosinus

• Domaine de définition et ensemble image. Elle est définie sur tous les réels et prend ses valeurs dans [-1, 1].
• Période. \cos(x + 2\pi) = \cos x, et A\cos(bx) a pour amplitude |A| et pour période \frac{2\pi}{|b|}.
• Zéros. \cos x = 0 exactement lorsque x = \frac{\pi}{2} + k\pi avec k entier. Ce sont les points où la tangente et la sécante ont des asymptotes verticales.
• Parité. \cos(-x) = \cos x.
• Identités. \sin^2 x + \cos^2 x = 1, et la formule de duplication \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x.

Dérivée de cos x

Le signe moins se lit sur la courbe : juste après x = 0, le cosinus décroît, et -\sin x y est négatif. En x = \pi, le cosinus atteint son minimum, et -\sin\pi = 0. La dérivée seconde est -\cos x, donc le cosinus, comme le sinus, vérifie y'' = -y.

Avec la règle de dérivation en chaîne, \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'.

Primitive de cos x

Par exemple, \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1.

Exemples corrigés

Exemple 1 : dérivation en chaîne. Dérivons f(x) = \cos(4x - 1). La dérivée de l'expression intérieure vaut 4, donc f'(x) = -4\sin(4x - 1).

Exemple 2 : puissance du cosinus. Dérivons g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3. La puissance extérieure donne 3\cos^2 x et l'intérieur donne -\sin x :

Exemple 3 : changement de variable. Calculons \int x\cos(x^2)\,dx. Posons u = x^2, donc du = 2x\,dx :

Exemple 4 : une tangente. En x = \frac{\pi}{2}, \cos x = 0 et la pente vaut -\sin\frac{\pi}{2} = -1. La tangente a pour équation y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right).

Erreurs fréquentes

1. Oublier le signe moins. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, et non \sin x. Moyen mnémotechnique : les dérivées des fonctions en « co » (cosinus, cotangente, cosécante) portent toutes un signe moins.
2. Ajouter un signe moins à la primitive. \int\cos x\,dx = \sin x + C, sans signe moins.
3. Mal lire \cos^2 x. \cos^2 x signifie (\cos x)^2, et non \cos(\cos x) ni \cos(x^2).
4. Oublier la dérivée de l'intérieur. \frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x), et non -\sin(2x).

Liens entre le cosinus et d'autres notions

Le cosinus est le dénominateur de la tangente et l'inverse de la sécante (voir sécante, cosécante et cotangente). Restreint à [0, \pi], il admet pour réciproque l'arc cosinus. Plus tard dans le cours d'analyse, vous intégrerez des puissances du cosinus grâce à l'identité \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}, et vous rencontrerez sa série de Taylor \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots. Pour vous entraîner davantage à le dériver, consultez le guide sur les dérivées des fonctions trigonométriques.