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Intégrales trigonométriques

Intégrale de cotan x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de cotan x vaut ln|sin x| + C. Le changement de variable u = sin x, le lien avec tan x, puis cotan(ax), cotan² x et des intégrales définies.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C
Primitive
\ln\lvert\sin x\rvert + C
Forme équivalente
-\ln\lvert\csc x\rvert + C
Méthode
Écrire \dfrac{\cos x}{\sin x}, puis poser u = \sin x
Forme affine
\int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C
Vérification
\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x
Sur cette page
  1. Graphique de cotan x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Comparaison de tan et cotan
  5. Intégrales définies
  6. Variantes par changement de variable
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \cot x est \ln\lvert\sin x\rvert + C (en France, la cotangente se note souvent cotan x). Elle s'obtient par un seul changement de variable et c'est le reflet de l'intégrale de tan x.

\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C

Graphique de cotan x et de sa primitive

Aire sous y = cotan x de π/6 à π/2, avec la primitive y = ln|sin x|
L'aire hachurée vaut \ln 2 \approx 0.693. La primitive en pointillés atteint son maximum, 0, en x = \frac{\pi}{2}, exactement là où \cot x s'annule.

Démonstration pas à pas

  1. Réécrire : \displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
  2. Poser u = \sin x. Alors du = \cos x\,dx.
  3. Substituer : \displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
  4. Remplacer u = \sin x : \ln\lvert\sin x\rvert + C.

L'étape 3 est l'intégrale de 1/x. Comme \ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert, certains ouvrages écrivent le résultat -\ln\lvert\csc x\rvert + C. C'est la même fonction.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \checkmark

Dans le sens direct, c'est différent : la dérivée de cotan x vaut -\csc^2 x.

Comparaison de tan et cotan

\tan x \cot x
Réécriture \frac{\sin x}{\cos x} \frac{\cos x}{\sin x}
Changement de variable u = \cos x, du = -\sin x\,dx u = \sin x, du = \cos x\,dx
Intégrale -\ln\lvert\cos x\rvert + C \ln\lvert\sin x\rvert + C
Dérivée \sec^2 x -\csc^2 x

Le signe moins apparaît pour \tan x mais pas pour \cot x, car \cos x se dérive en -\sin x alors que \sin x se dérive en +\cos x.

Intégrales définies

\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot x\,dx = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx = 0 - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2

Partir de x = 0 donne une intégrale impropre divergente, puisque \ln\sin x \to -\infty quand x \to 0^+.

Variantes par changement de variable

\int\cot(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax + b)\rvert + C

Exemple 1. \int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C.

Exemple 2. \int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C, avec u = x^2.

Exemple 3 : cotangente au carré. On utilise \cot^2 x = \csc^2 x - 1 :

\int\cot^2 x\,dx = \int(\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C

Vérification : \frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x.

Exemple 4 : une cotangente cachée. \int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C, avec u = 3\sin x + 2.

Erreurs fréquentes

  1. Répondre -\csc^2 x. C'est la dérivée de \cot x.
  2. Ajouter un signe moins par analogie avec \tan x. -\ln\lvert\sin x\rvert a pour dérivée -\cot x.
  3. Répondre \ln\lvert\cos x\rvert. Le logarithme porte sur le dénominateur de \frac{\cos x}{\sin x}, c'est-à-dire \sin x.
  4. Oublier la valeur absolue. \sin x < 0 sur (\pi, 2\pi).

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de cotan x ?
L'intégrale de \cot x est \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Quelle est l'intégrale de cos x / sin x ?
C'est \cot x, donc l'intégrale vaut \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Quelle est l'intégrale de cotan(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\ln\lvert\sin 2x\rvert + C.

Combien vaut l'intégrale de cotan x entre π/6 et π/2 ?
Elle vaut \ln\sin\frac{\pi}{2} - \ln\sin\frac{\pi}{6} = 0 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 \approx 0.693.

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