Intégrale de csc x (1/sin x) : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de \csc x est -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C. Ici csc désigne la cosécante, c'est-à-dire 1/sin x, et cot la cotangente. C'est la jumelle de l'intégrale de sec x, et elle se démontre avec la même astuce.

Graphique de csc x et de l'aire sous la courbe

Démonstration pas à pas

1. Multiplier par \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x} : \int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx
2. Poser u = \csc x + \cot x. Avec la dérivée de csc x et la dérivée de cotan x : du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx
3. Le numérateur vaut donc -du, et l'intégrale devient \int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Revenir à la variable de départ : -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C.

Pourquoi les trois formes sont égales

D'abord, (\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1. Donc

Ensuite, \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}, et la formule de l'angle moitié dit que \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}. On obtient \ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert, la forme la plus courante dans les cours français.

Vérification par dérivation

On utilise la forme \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert :

Intégrales définies

En x = \frac{\pi}{2} : \csc - \cot = 1 - 0 = 1, donc la primitive vaut \ln 1 = 0. En x = \frac{\pi}{3} : \csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Donc

L'intégrale à partir de 0 diverge toujours, car \csc x a une asymptote verticale en x = 0 et \ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty.

Variantes par changement de variable

Exemple 1. \int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C.

Exemple 2. \int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C, avec la forme de l'angle moitié et \frac{2x}{2} = x.

Exemple 3. \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx se ressemble, mais c'est l'intégrale de cotan x, qui vaut \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Erreurs fréquentes

1. Répondre -\csc x\cot x. C'est la dérivée de \csc x.
2. Perdre le signe moins devant \ln\lvert\csc x + \cot x\rvert. La dérivée serait alors -\csc x.
3. Mélanger les formes. -\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert est faux : le signe moins devant va avec le plus à l'intérieur, et inversement.
4. Répondre -\cot x. C'est l'intégrale de \csc^2 x, pas de \csc x.

Entraînez-vous avec les exercices sur les intégrales trigonométriques.