Dérivée de cot x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de cot x est -csc²x. Démonstration par le quotient, la forme -(1 + cot²x), version composée pour cot(u) et exemples comme cot(2x).
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- -\csc^2 x pour x \ne k\pi
- Autres formes
- -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'
- Pente en x = π/2
- -\csc^2\frac{\pi}{2} = -1
- Version intégrale
- \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C
Sur cette page
La dérivée de \cot x est -\csc^2 x. C'est la partenaire en « co » de \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x : on passe aux cofonctions et on ajoute un signe moins.
Courbe de cot x et de sa dérivée
Démonstration par la règle du quotient
Écrivons \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} et utilisons la règle du quotient :
Le numérateur vaut -1, donc
Une seconde démonstration à partir de tan x
Comme \cot x = (\tan x)^{-1}, la règle de dérivation en chaîne et la dérivée de tan x donnent
Même résultat. L'identité \csc^2 x = 1 + \cot^2 x permet aussi d'écrire la réponse sous la forme -(1 + \cot^2 x).
La version composée : dérivée de cot(u)
| Fonction | Intérieur u | Dérivée |
|---|---|---|
| \cot(2x) | 2x | -2\csc^2(2x) |
| \cot(x^3) | x^3 | -3x^2\csc^2(x^3) |
| \cot\sqrt{x} | \sqrt{x} | -\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \cot(\pi - x) | \pi - x | \csc^2(\pi - x) |
Exemples corrigés
Exemple 1 : une puissance. \frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x.
Exemple 2 : un produit. \frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x.
Exemple 3 : une valeur. En x = \frac{\pi}{4}, \csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, donc la pente vaut -(\sqrt{2})^2 = -2. La tangente passant par \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) est y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right).
Exemple 4 : le logarithme du sinus. \frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x. En dérivant à nouveau, on obtient -\csc^2 x. C'est pourquoi \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C, voir l'intégrale de cot x.
Comment la retenir
Associez \cot x à \tan x. La dérivée de la tangente est \sec^2 x. Remplacez chaque fonction par sa partenaire en « co », tangente par cotangente et sécante par cosécante, puis placez un signe moins devant. Vous obtenez -\csc^2 x sans démonstration. Le même échange fonctionne pour toutes les paires de dérivées trigonométriques, donc il suffit de mémoriser trois des six résultats. Un coup d'œil à la courbe confirme le signe : chaque branche de la cotangente descend de gauche à droite, donc sa pente doit toujours être négative. La pente devient plus forte près des asymptotes, aux multiples de \pi, là où \csc^2 x explose.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins. La cotangente est toujours décroissante, donc sa dérivée doit être négative.
- Écrire -\csc x\cot x. C'est la dérivée de csc x, un autre résultat.
- Écrire -\sec^2 x. Le carré porte sur la cosécante, la partenaire de la sécante.
Pour retrouver toute la famille au même endroit, lisez dérivées des fonctions trigonométriques.
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