Dérivée de e^(2x) : formule, étapes et exemples
La dérivée de e^(2x) est 2e^(2x). Les étapes de la dérivation en chaîne, une seconde preuve avec (eˣ)², les dérivées successives, la courbe et des exemples.
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 2e^{2x}
- Dérivée seconde
- 4e^{2x}
- Dérivée n-ième
- 2^n e^{2x}
- Forme générale
- \dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}
- Version intégrale
- \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
Sur cette page
La dérivée de e^{2x} est 2e^{2x}. L'exponentielle reste exactement la même, et la dérivée de l'exposant, 2, passe devant.
Étape par étape avec la règle de dérivation en chaîne
Écrivons e^{2x} comme une fonction extérieure e^u avec l'intérieur u = 2x. La règle de dérivation en chaîne dit
- La dérivée extérieure : la dérivée de eˣ est elle-même, donc e^u reste e^{2x}.
- La dérivée intérieure : \frac{d}{dx}(2x) = 2.
- On multiplie : e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.
Les mêmes étapes donnent la règle générale \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}. Par exemple, \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x} et \frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}.
Une seconde démonstration sans la dérivation en chaîne
Comme e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x, la règle du produit fonctionne aussi :
Les deux méthodes concordent, ce qui est une bonne vérification.
Courbe de e^(2x) et de sa dérivée
La tangente en x = 0 a pour pente 2 et passe par (0, 1), c'est donc y = 2x + 1.
Dérivées successives
À chaque dérivation, un nouveau facteur 2 apparaît :
| Dérivée | Résultat |
|---|---|
| f'(x) | 2e^{2x} |
| f''(x) | 4e^{2x} |
| f'''(x) | 8e^{2x} |
| f^{(n)}(x) | 2^n e^{2x} |
Ce schéma explique pourquoi y = e^{2x} est solution de l'équation différentielle y'' = 4y. Il éclaire aussi la dérivée première à elle seule : y' = 2y signifie que la fonction croît à un rythme égal au double de sa taille actuelle, ce qui est la règle de la croissance exponentielle de constante 2.
Exemples corrigés
Exemple 1 : règle du produit. Pour f(x) = xe^{2x},
Comme e^{2x} > 0, le seul point critique est là où 1 + 2x = 0, c'est-à-dire en x = -\frac{1}{2}.
Exemple 2 : un exposant décalé. Pour g(x) = e^{2x + 1}, la dérivée intérieure vaut toujours 2 :
Exemple 3 : un facteur constant. Pour h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x},
Le second terme change de signe parce que \frac{d}{dx}(-2x) = -2.
Erreurs fréquentes
- Oublier le 2. \frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} est l'erreur la plus courante. Multipliez toujours par la dérivée intérieure.
- Faire descendre l'exposant comme une puissance. 2x\,e^{2x - 1} est faux ; la règle de la puissance ne s'applique pas.
- Écrire 2e^{x}. L'exposant ne change pas. Il reste 2x.
- Confondre la dérivée et l'intégrale. La dérivée multiplie par 2 ; l'intégrale divise par 2.
Pour le sens inverse, voir l'intégrale de e^(2x). Pour vous entraîner davantage, essayez les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
Entraîne-toi maintenant
Dérivation en chaîne : e et ln
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon