Intégrale de arcsin x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de \arcsin x est x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C. Comme \ln x et \arctan x, elle n'a pas de règle inverse directe : on l'intègre par parties avec un facteur 1.

Graphique de arcsin x avec l'aire de 0 à 1

Comment intégrer arcsin x pas à pas

On utilise l'intégration par parties, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Choisir les facteurs. u = \arcsin x et dv = dx, donc du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx et v = x.
2. Appliquer la formule. \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
3. Calculer l'intégrale restante avec w = 1 - x^2, dw = -2x\,dx : \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
4. Regrouper. Soustraire un terme négatif donne un plus : \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C

Vérification par dérivation

Les deux fractions se compensent, il ne reste que \arcsin x. On utilise ici la dérivée de arcsin x, \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Intégrales définies

De 0 à 1 :

Le graphique donne le même résultat sans primitive. La région sous y = \arcsin x et la région à sa gauche (entre la courbe et l'axe des y) remplissent un rectangle d'aire \frac{\pi}{2}. La région de gauche est l'aire sous x = \sin y pour 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, qui vaut 1.

De 0 à 1/2 :

De −1 à 1 : \arcsin x est impaire, donc l'intégrale vaut 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : arccos x. Même mise en place par parties, mais du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx :

Pour vérifier, l'addition des résultats pour arcsin et arccos donne x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x, qui est bien l'intégrale de la constante \frac{\pi}{2}.

Exemple 2 : une variable divisée. \int\arcsin\frac{x}{2}\,dx. On pose u = \frac{x}{2}, dx = 2\,du :

Ici 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}.

Exemple 3 : d'abord un changement de variable. \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx ne se traite pas par parties. Avec u = \arcsin x, du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, le résultat est \frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C.

Erreurs fréquentes

1. Une erreur de signe dans l'intégrale restante. \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx vaut -\sqrt{1-x^2}, donc le résultat final contient +\sqrt{1-x^2}. Une dérivation le révèle immédiatement.
2. Lire \sin^{-1}x comme \frac{1}{\sin x}. L'inverse de sinus est \csc x, une autre fonction ; voir l'intégrale de csc x.
3. Intégrer par parties alors qu'un changement de variable suffit. Si \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} accompagne déjà \arcsin x, faites un changement de variable.
4. Ignorer le domaine de définition. \arcsin x n'existe que pour -1 \le x \le 1, donc une intégrale définie doit rester dans cet intervalle.

Pour obtenir arcsin comme résultat, voir l'intégrale de 1/√(1−x²). La page arcsinus en dit plus sur la fonction elle-même, et l'intégrale de arctan x utilise la même méthode.