Intégrale de sin² x : formule, démonstration et exemples
L'intégrale de sin² x vaut x/2 - sin(2x)/4 + C. La linéarisation pas à pas, la vérification par dérivation, sin²(ax) et des intégrales définies.
Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Primitive
- \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C
- Identité utilisée
- \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}
- Forme équivalente
- \dfrac{x - \sin x\cos x}{2} + C
- De 0 à π
- \dfrac{\pi}{2}
- Valeur moyenne
- \dfrac{1}{2} sur une période complète
Sur cette page
L'intégrale de \sin^2 x est \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C. La clé est une formule de linéarisation qui transforme le carré en une expression que l'on intègre terme à terme.
Graphique de sin² x et de sa primitive
La courbe de \sin^2 x oscille entre 0 et 1 avec une période \pi, centrée sur y = \frac{1}{2}. C'est pourquoi la primitive croît en moyenne comme \frac{x}{2}.
Démonstration pas à pas
- Partir de la formule de duplication \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
- Isoler \sin^2 x : \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.
- Remplacer dans l'intégrale : \int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx
- Intégrer chaque terme. \int 1\,dx = x et \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, d'après l'intégrale de cos x avec a = 2.
- Regrouper : \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.
Avec \sin 2x = 2\sin x\cos x, on peut aussi écrire le résultat \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C.
Vérification par dérivation
Le sens direct se trouve sur la page dérivée de sin² x : \frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x.
Intégrales définies
| Intégrale | Valeur |
|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{4} |
| \int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx | \pi |
| \int_0^{\pi/4}\sin^2 x\,dx | \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} |
Pour la dernière ligne : \frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143.
Un raccourci : sur une période complète, \sin^2 x et \cos^2 x ont la même aire, et ensemble ils intègrent 1. Chacun prend donc la moitié de la longueur de l'intervalle.
Variantes par changement de variable
Pour \sin^2(ax), on utilise \sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2} :
Ainsi \int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C.
Quand un facteur \cos x est présent, on oublie l'identité et on pose u = \sin x :
Exemples corrigés
Exemple 1 : valeur moyenne. La moyenne de \sin^2 x sur [0, 2\pi] vaut \frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}. C'est pourquoi la puissance en courant alternatif fait intervenir le facteur \frac{1}{2} (et la valeur efficace le facteur \frac{1}{\sqrt{2}}).
Exemple 2 : volume. En faisant tourner une arche de y = \sin x autour de l'axe des x, on obtient un solide de volume \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}.
Exemple 3 : sin⁴ x. On élève l'identité au carré : \sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}, puis on linéarise à nouveau \cos^2 2x. Le résultat est \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C.
Erreurs fréquentes
- Répondre \frac{\sin^3 x}{3}. Sa dérivée est \sin^2 x\cos x, pas \sin^2 x.
- Répondre -\cos^2 x. Sa dérivée est 2\sin x\cos x = \sin 2x.
- Se tromper de signe dans l'identité. Pour \sin^2, c'est 1 - \cos 2x. Pour \cos^2, c'est 1 + \cos 2x.
- Oublier de diviser \sin 2x par 2 en intégrant \cos 2x, ce qui donne \frac{\sin 2x}{2} au lieu de \frac{\sin 2x}{4} à la fin.
Ensuite : l'intégrale de cos² x repose sur la même idée. Entraînez-vous avec les exercices sur les intégrales trigonométriques.
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