Intégrale de x² eˣ : formule, méthode et exemples
L'intégrale de x² eˣ vaut (x² − 2x + 2)eˣ + C. Deux intégrations par parties, la méthode du tableau, la vérification, un graphique et le cas xⁿ eˣ.
Produits et intégration par parties Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Primitive
- (x^2 - 2x + 2)e^x + C
- Méthode
- Deux intégrations par parties, ou la méthode du tableau
- De 0 à 1
- e - 2 \approx 0.718
- Avec e^(−x), de 0 à ∞
- \int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2
- Schéma
- \int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C
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L'intégrale de x^2e^x est (x^2 - 2x + 2)e^x + C. Elle demande deux intégrations par parties, et c'est l'exemple type de la méthode du tableau.
Graphique de x² eˣ et de sa primitive
Comment intégrer x² eˣ pas à pas
On utilise l'intégration par parties, \int u\,dv = uv - \int v\,du, avec la puissance de x comme u à chaque fois.
- Premier passage. u = x^2, dv = e^x\,dx, donc du = 2x\,dx et v = e^x : \int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx
- Second passage. Vous savez déjà que \int xe^x\,dx = (x-1)e^x, d'après l'intégrale de x eˣ. Sinon, reprenez u = x, dv = e^x\,dx.
- Regrouper. x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C
La méthode du tableau
Quand un facteur finit par s'annuler en le dérivant et que l'autre s'intègre facilement de façon répétée, on dresse un tableau. On dérive x^2 dans la colonne de gauche, on intègre e^x dans celle de droite, et on affecte des signes alternés :
| Signe | Dériver | Intégrer |
|---|---|---|
| + | x^2 | e^x |
| - | 2x | e^x |
| + | 2 | e^x |
| 0 | e^x |
On multiplie chaque élément de gauche par l'élément de droite de la ligne suivante, avec le signe de la ligne de gauche :
La leçon sur les intégrations par parties répétées et LIATE fait pratiquer cette méthode.
Vérification par dérivation
Tout se simplifie sauf x^2. Un bon moyen de retenir le résultat : le polynôme p(x) = x^2 - 2x + 2 vérifie p + p' = x^2.
Intégrales définies
De 0 à 1 :
De −∞ à 0 : quand x \to -\infty, (x^2 - 2x + 2)e^x \to 0, donc l'intégrale vaut 2 - 0 = 2.
Avec une exponentielle décroissante. \int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C, donc
C'est un cas particulier du résultat sur la fonction Gamma, \int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!. Voir les intégrales impropres pour comprendre pourquoi la limite à l'infini vaut 0.
Le schéma xⁿ eˣ
Chaque puissance de x supplémentaire ajoute une ligne au tableau :
| Intégrale | Résultat |
|---|---|
| \int e^x\,dx | e^x + C |
| \int xe^x\,dx | (x - 1)e^x + C |
| \int x^2e^x\,dx | (x^2 - 2x + 2)e^x + C |
| \int x^3e^x\,dx | (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C |
Le polynôme est x^n moins sa dérivée plus sa dérivée seconde, et ainsi de suite, avec des signes alternés.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une exponentielle plus rapide. \int x^2e^{2x}\,dx. Dans la méthode du tableau, la colonne de droite est e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x} :
Exemple 2 : un polynôme du second degré. \int(x^2 + 1)e^x\,dx. Ici p = x^2 + 1, et le schéma donne (p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C.
Exemple 3 : d'abord un changement de variable. \int x^3e^{x^2}\,dx. On pose w = x^2, dw = 2x\,dx, et l'intégrale devient \frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C.
Erreurs fréquentes
- S'arrêter après un passage. x^2e^x - 2\int xe^x\,dx contient encore une intégrale.
- Perdre le facteur 2. Le premier passage fait apparaître 2x, et le 2 multiplie tout le second résultat.
- Mauvais signes dans le tableau. Les signes alternent +, -, + à partir de la première ligne.
- Choisir u = e^x. La puissance de x augmente au lieu de diminuer.
Pour vous entraîner : les exercices sur l'intégration par parties.
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