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Produits et intégration par parties

Intégrale de x cos x : formule, méthode et exemples

L'intégrale de x cos x vaut x sin x + cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique, des intégrales définies et x² cos x.

Produits et intégration par parties Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C
Primitive
x\sin x + \cos x + C
Méthode
Intégration par parties avec u = x, dv = \cos x\,dx
De 0 à π/2
\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571
De 0 à π
-2
Avec cos(kx)
\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C
Sur cette page
  1. Graphique de x cos x et de sa primitive
  2. Comment intégrer x cos x pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de x\cos x est x\sin x + \cos x + C. Comme x\sin x, c'est une puissance de x multipliée par une fonction trigonométrique, et une intégration par parties avec u = x la règle en une étape.

\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C

Graphique de x cos x et de sa primitive

y = x cos x et sa primitive x sin x + cos x
L'aire hachurée de 0 à \frac{\pi}{2} vaut \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571. La primitive en pointillés a ses sommets et ses creux exactement là où x\cos x s'annule.

Comment intégrer x cos x pas à pas

On utilise l'intégration par parties, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Choisir les facteurs. u = x et dv = \cos x\,dx.
  2. Trouver du et v. du = dx et v = \sin x, d'après l'intégrale de cos x.
  3. Appliquer la formule. \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx
  4. Terminer. \int\sin x\,dx = -\cos x, et en le soustrayant on obtient +\cos x : \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C

u = x est le bon choix car sa dérivée vaut 1, ce qui fait disparaître le x. Choisir u = \cos x ferait monter la puissance à x^2.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x

Le \sin x issu de la règle du produit compense le -\sin x issu de \cos x.

Intégrales définies

Notons F(x) = x\sin x + \cos x.

Intégrale Calcul Valeur
\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) \frac{\pi}{2} - 1
\int_0^{\pi} x\cos x\,dx (0 - 1) - (0 + 1) -2
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} -2\pi
\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx fonction impaire 0

La dernière ligne utilise la symétrie : x\cos x est impaire (une fonction impaire multipliée par une fonction paire), donc les aires des deux côtés se compensent.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un angle multiplié. \int x\cos 3x\,dx. Avec u = x et v = \frac{1}{3}\sin 3x :

\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C

Exemple 2 : x au carré. \int x^2\cos x\,dx. Premier passage avec u = x^2, v = \sin x :

\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx

L'intégrale de x sin x vaut \sin x - x\cos x, donc

\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C

Exemple 3 : un facteur affine. \int(2x - 1)\cos x\,dx. Avec u = 2x - 1, du = 2\,dx :

(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C

Exemple 4 : un coefficient de Fourier. Dans les séries de Fourier, on rencontre des intégrales comme \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx. La fonction est impaire, donc le résultat est 0 pour tout entier n, sans intégration par parties.

Exemple 5 : un produit caché. \int x\cos^2 x\,dx. On écrit \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (voir l'intégrale de cos²x), puis

\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C

Erreurs fréquentes

  1. Écrire x\sin x - \cos x. Le reste vaut -\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x.
  2. La confondre avec x\sin x. Ici v = \sin x sans changement de signe ; pour x\sin x, v = -\cos x.
  3. Intégrer facteur par facteur. \frac{x^2}{2}\sin x n'est pas le résultat ; dérivez-le pour voir pourquoi.
  4. Oublier le \frac{1}{k^2} dans le second terme quand l'angle est kx.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de x cos x ?
C'est x\sin x + \cos x + C.

Combien vaut l'intégrale de x cos x entre 0 et π ?
Elle vaut -2. La primitive vaut \pi\cdot 0 + \cos\pi = -1 en \pi et 0 + \cos 0 = 1 en 0, donc le résultat est -1 - 1 = -2.

Quelle est l'intégrale de x² cos x ?
C'est x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C. On intègre deux fois par parties, en commençant par u = x^2.

Quelle est l'intégrale de x cos(3x) ?
C'est \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C.

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