Ableitung von x²: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von x² ist 2x. Mit Beweis über den Differenzenquotienten, der Kettenregel für u², einem Graphen, Tangenten und Rechenbeispielen wie (3x + 1)².
Potenzen, Wurzeln und Polynome Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2x für jedes reelle x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'
- Zweite Ableitung
- \dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2
- Steigung bei x = 0
- 0, der Scheitelpunkt der Parabel
- Als Integral
- \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von x^2 ist 2x. Meist ist das die erste Ableitung, die man von Hand berechnet, und sie zeigt die ganze Idee der Ableitung in einer Zeile Algebra.
Graph von x² und seiner Ableitung
Die Ableitung wächst mit x, die Parabel wird also immer steiler, je weiter du dich vom Scheitelpunkt entfernst. Genau so sieht Linkskrümmung aus.
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Beginne mit
Löse das Quadrat auf: (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2. Die Summanden x^2 heben sich auf:
Du erhältst das Ergebnis auch mit der Potenzregel oder mit der Produktregel für x \cdot x: 1\cdot x + x \cdot 1 = 2x.
Mit der Kettenregel: Ableitung von u²
Wird etwas anderes als x quadriert, nimmst du die Kettenregel:
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung 2u\,u' |
|---|---|---|
| (3x + 1)^2 | 3x + 1 | 6(3x + 1) |
| (x^2 + 5)^2 | x^2 + 5 | 4x(x^2 + 5) |
| \sin^2 x | \sin x | 2\sin x\cos x |
| (\ln x)^2 | \ln x | \frac{2\ln x}{x} |
Die dritte Zeile ist auf der Seite zur Ableitung von sin²x vollständig ausgerechnet.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Polynom. Leite f(x) = 4x^2 - 3x + 8 ab:
Beispiel 2: eine Tangente. Bestimme die Tangente an y = x^2 bei x = 3. Der Punkt ist (3, 9), die Steigung 2(3) = 6:
Beispiel 3: Wo ist die Steigung 5? Löse 2x = 5 und du erhältst x = \frac{5}{2}. Der Punkt auf der Parabel ist \left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right).
Beispiel 4: zweite Ableitung. \frac{d}{dx}(2x) = 2, also \frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2. Eine positive, konstante zweite Ableitung bedeutet, dass die Parabel überall nach oben gekrümmt ist.
Typische Fehler
- 2x^2 schreiben. Der Exponent muss um eins sinken: 2x^1 = 2x.
- x^2 und 2^x verwechseln. Sie sehen ähnlich aus, aber 2^x ist eine Exponentialfunktion. Ihre Ableitung ist 2^x \ln 2, siehe die Ableitung von 2ˣ.
- u' weglassen. \frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2), nicht 2(5x - 2).
- Die Ableitung quadrieren. \frac{d}{dx}(x^2) ist nicht \left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1.
Rückwärts steht \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C auf der Seite zum Integral von x². Mehr Übung bieten die Aufgaben zur Potenzregel.
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