Aufgaben zum Hauptsatz der Integralrechnung mit Lösungen

Diese Aufgaben zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung decken beide Teile des Satzes ab: Ableitungen von Integralen mit variablen Grenzen, das Berechnen bestimmter Integrale und das Interpretieren von Integralfunktionen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Lösungen, danach die vollständigen Lösungswege.

Die beiden Teile:

Mit der Kettenregel wird Teil 1 zu \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x). Die Begründung findest du bei Teil 1 und Teil 2.

Aufgaben

Teil 1: Ableitungen von Integralen

1. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt
2. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt
3. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt
4. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt für x > 0
5. \displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt

Teil 2: Integrale berechnen

6. \displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx
7. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx
8. \displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx
9. \displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx

Integralfunktionen

10. Sei g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt. Wo ist g streng monoton wachsend? Bestimme das lokale Minimum von g und seinen Wert.
11. Sei F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt. Bestimme F(2) und F'(2).
12. Sei g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt. Bestimme g''(x).

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Die obere Grenze ist einfach x, also ersetzt du t durch x. Die untere Grenze 1 spielt keine Rolle:

2. Die obere Grenze ist x^2. Setze sie ein und multipliziere mit ihrer Ableitung 2x:

3. Die Variable steht in der unteren Grenze. Vertausche die Grenzen, sodass du -\int_5^{x}e^{t^2}\,dt erhältst, und wende dann Teil 1 an:

Beachte: e^{t^2} hat keine elementare Stammfunktion, Teil 1 ist hier also der einzige Weg.

4. Obere minus untere Grenze, jeweils mit dem Faktor aus der Kettenregel:

Probe: Das Integral ist \ln(x^2) - \ln x = \ln x, und dessen Ableitung ist \frac{1}{x}.

5. Setze \sin x in 1 + t^2 ein und multipliziere mit \cos x:

6. Eine Stammfunktion ist 2x^3 - 2x:

7. Eine Stammfunktion von \sin x ist -\cos x:

8. Da e^{\ln 3} = 3 gilt:

9. Eine Stammfunktion ist \arctan x:

10. Nach Teil 1 ist g'(x) = x^2 - 4. Das ist positiv für |x| > 2, also wächst g auf (-\infty, -2) und (2, \infty). Bei x = 2 wechselt g' das Vorzeichen von negativ nach positiv, g hat dort also ein lokales Minimum:

11. Sind beide Grenzen gleich, ist das Integral 0, also F(2) = 0. Nach Teil 1 ist F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}, also F'(2) = \sqrt{9} = 3.

12. Zuerst ist g'(x) = \sin(x^2). Leite mit der Kettenregel noch einmal ab:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. In Aufgabe 2 ist \cos(x^2) allein falsch. Multipliziere mit der Ableitung der oberen Grenze.
• Eine variable untere Grenze übersehen. In Aufgabe 3 entsteht das Minuszeichen durch das Vertauschen der Grenzen.
• Erst integrieren, obwohl es nicht geht. e^{t^2} und \sin(t^2) haben keine elementaren Stammfunktionen. Mit Teil 1 kannst du diesen Schritt überspringen.
• g und g' verwechseln. In Aufgabe 10 wächst g dort, wo der Integrand positiv ist, nicht dort, wo g selbst positiv ist.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zum Hauptsatz, Teil 1, die Lektion zu Teil 2 und die Lektion zu Integralfunktionen. Für den Gesamtüberblick lies den Leitfaden zum Hauptsatz. Danach geht es weiter mit den Aufgaben zur Substitutionsregel.